Si \(f\in\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\), montrer que

\[\lim_{n\to\infty} \int_0^1t^nf(t)dt=0 \quad\&\quad \lim_{n\to\infty}n\int_0^1t^nf(t)dt=f(1)\]


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[ID: 2869] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Suites, continuité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

-\(f\) continue est bornée sur \([0,1]\) donc

\[\left\vert\int_0^1t^nf(t)dt\right\vert \leq \Vert f\Vert_\infty\int_0^1t^ndt={{\Vert f\Vert_\infty}\over n+1}\rightarrow 0.\]

-Pour la seconde limite, \(f\) étant continue en \(t=1\)

\[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists \eta>0\,:\ 1-\eta\leq t\leq 1 \Longrightarrow \vert f(t)-f(1)\vert\leq \varepsilon,\] par conséquent

\[\begin{aligned} \left\vert n\int_0^1 t^n(f(t)-f(1))dt\right\vert &\leq \ n\left(\int_0^{1-\eta}t^n\vert f(t)-f(1)\vert dt +\int_{1-\eta}^1t^n\vert f(t)-f(1)\vert dt\right)\\ &\leq \ n\left( \,{{2\Vert f\Vert_\infty (1-\eta)^{n+1}}\over n+1}+{\varepsilon\over n+1}\right)\leq 2\varepsilon \quad\text{ pour }\quad n\geq N_\varepsilon \end{aligned}\]

i.e.

\[\lim_{n\to\infty}n\int_0^1t^nf(t)dt =\lim_{n\to\infty}n\int_0^1t^nf(1)dt =\lim_{n\to\infty} {nf(1)\over n+1}=f(1).\]


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