Soit \((a_n)_n\) une suite décroissante de réels positifs, établir l’équivalence

\[\left( \sum_{n\geq 0}a_n\quad{ converge }\right) \quad\iff\quad \left( \sum_{n\geq 0}2^na_{2^n}\quad\text{ converge.} \right)\]

En déduire la nature des séries

\[\sum_{n\geq 1}{1\over n^\alpha},\quad \sum_{n\geq 2}{1\over{n(\log(n))^\alpha}},\quad\sum_{n\geq 2} {1\over {n\log(n)\log(\log(n))}}\ \& \ \sum_{n\geq 2} {1\over { n\log(n)\left(\log(\log(n))\right)^2}}\]


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[ID: 2867] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Le critère de condensation de Cauchy
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

les \(a_n\) étant positifs, il suffit de montrer que les sommes partielles se dominent mutuellement, pour cela, posons

\[s_n=a_1+a_2+\dots+a_n\quad\&\quad t_n=a_1+2a_2+\dots+2^na_{2^n}.\]

-Si \(n<2^k\) on peut écrire

\[\begin{aligned} s_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n&\leq a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+\dots+a_7)\dots+(a_{2^k}+\dots +a_{2^{k+1}-1})\\ &\leq a_1+2a_2+4a_4+\dots +2^ka_{2^k}=t_k \end{aligned}\]

i.e.\[\quad {s_n<t_k,\quad \forall \,n<2^k.}\]

-Réciproquement, si \(n>2^k\) on écrit cette fois- ci

\[\begin{aligned} s_n& \geq a_1+a_2+(a_3+a_4)+\dots+(a_{2^{k-1}+1}+\dots+a_{2^k})\\ &\geq a_1+a_2+2a_4+\dots+2^{k-1}a_{2^k}\\ &\geq {a_1\over 2}+a_2+2a_4+\dots+2^{k-1}a_{2^k}={t_k\over 2} \end{aligned}\]

soit \[{2s_n\geq t_k,\quad \forall \,n>2^k}\] d’où le résultat suit.

-C’est le critère de condensation de Cauchy, il est fortement conseillé de l’appliquer aux exemples proposées : c’est immédiat et très efficace.

-Le nombre \(2\) ne joue aucun rôle particulier dans l’énonçé précédent : ce résultat est en fait un cas particulier du 1

Soient \((a_n)_n\) une suite décroissante de réels positifs, \((g_k)_k\) une suite strictement croissante d’entiers. S’il existe une constante \(M>0\) telle que \[g_{k+1}-g_k\leq M(g_k-g_{k-1}){(\text{$\star$})}\] alors les deux séries \[\sum_{k\geq 0}a_k\quad \text{et}\quad\sum_{k\geq 0}(g_{k+1}-g_k)a_{g_k}\] sont de mêmes nature.

La condition (\(\star\)) signifie que les lacunes de la suite \((g_k)\) ne croissent pas trop vite.


  1. 1  K.Knopp, Theory and Application of infinite series, Dover (1990), pages 120-121.

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