Montrer que dans \(\{x\in\mathbb R\ :\ \sin^2(x)\leq{1\over 2}\}\) on ne trouvera jamais trois entiers consécutifs. En déduire la nature de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\).


Barre utilisateur

[ID: 2865] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Divergence de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

L’ensemble proposé est \[\bigcup_{k\in\mathbb Z}\,[-{\pi\over 4}+2k\pi,{\pi\over 4}+2k\pi]\,\cup\,[{3\pi\over 4}+2k\pi,{5\pi\over 4}+2k\pi]\] réunion disjointe d’intervalles de longueur \(<2\) donc ne contenant pas trois entiers consécutifs ; ils sont aussi séparés par des intervalles de longueur strictement plus grande que \(1\), donc contenant au moins un entier : l’assertion est donc claire.

Notre série étant à termes positifs, elle sera de même nature que celle de terme général \(v_n=u_{3n}+u_{3n+1}+u_{3n+2}\) et vu ce qui précède l’un des trois réels \(\sin^2(3n),\sin^2(3n+1),\sin^2(3n+2)\) est supérieur ou égal à \(1/2\) donc \[v_n\geq {{1}\over 2(3n+2)}\underset{n\to\infty}{\sim} {1\over 6n}\] et par comparaison notre série diverge.


Documents à télécharger

Divergence de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice