\((x_n)_n\) est une suite réelle bornée. Soient \(a,b\in\mathbb R^\star_+\) vérifiant \({a\over b}\not\in\mathbb Q\) ; montrer que \[\left( (e^{iax_n})_n\ \&\ (e^{ibx_n})_n \text{ convergent }\right)\Longrightarrow\left((x_n)_n\text{ converge }\right).\]


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[ID: 2863] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Suites et sous-suites
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

Supposons \((x_n)_n\) divergente. Pour une suite bornée de réels divergente il n’y a qu’une alternative : elle possède deux sous-suites \((x_{s_n})_n, (x_{t_n})_n\) qui convergent vers deux limites distinctes \(l_1,l_2\). Vu les hypothèses

\[e^{ial_1}=\lim_ne^{iax_{s_n}}=\lim_ne^{iax_{t_n}}=e^{ial_2}\]

il existe donc \(k_1\in\mathbb N\) tel que \(ial_1=ial_2+2ik_1\pi\) i.e. \(a(l_1-l_2)=2k_1\pi\). De même avec la seconde suite il existe \(k_2\in\mathbb N\) : \(b(l_1-l_2)=2k_2\pi\). De ces deux relations on déduit aussitôt (car \(l_1-l_2\ne 0\)) que \(\displaystyle {a\over b}={{k_1}\over{k_2}}\) ce qui est bien sur absurde.


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