([rms],1993/94).

Soit \(s_n=\sum_{k=1}^n{1\over k}\) montrer que \(\displaystyle\lim_ns_{2n}-s_n=\log(2)\). Conclusion ?


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[ID: 2861] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Divergence de la série harmonique (suite)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

On peut écrire

\[s_{2n}-s_n=\sum_{k=n+1}^{2n}{1\over k}=\sum_{k=1}^n{1\over n+k}={1\over n}\sum_{k=1}^n{1\over{1+{k\over n}}}={1\over n}\sum_{k=1}^nf\left({k\over n}\right)\ \text{où }f(t)={1\over 1+t},\]

on reconnaît là une somme de Riemann sur \([0,1]\) associée à la fonction \(f\in\mathscr C^0([0,1])\) par conséquent

\[\lim_{n\to\infty}s_{2n}-s_n=\int_0^1f(t)dt=\log(2).\]

La suite \((s_n)_n\) ne vérifie pas le critère de Cauchy, la série harmonique est donc divergente.

l’intérêt de cet exercice est bien entendu d’utiliser les sommes de Riemann, car la divergence de la série harmonique via le critère de Cauchy s’obtient classiquement (voir aussi l’exercice précédent) par

\[s_{2n}-s_n={1\over{n+1}}+\dots + {1\over 2n}\geq {1\over 2n}+\dots+{1\over{2n}}={1\over 2}.\]


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