Pour \(n\geq 1\) on définit l’entier \(a_n\) comme le plus petit entier tel que \[{1\over n}+{1\over n+1}+\dots +{1\over a_n}>1.\] Montrer que la suite \((a_n)_n\) est bien définie et \[\lim_{n\to\infty}{a_n\over n}=e.\]


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[ID: 2857] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Suites, équivalents
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

La divergence de la série harmonique (vers \(+\infty\)) assure l’existence de la suite \((a_n)_n\). On peut remarquer qu’une récurrence donne facilement pour tout \(n>1\)

\[{1\over n}+{1\over n+1}+\dots +{1\over 2n-1}<1 \qquad\&\qquad {1\over n}+{1\over n+1}+\dots +{1\over 3n-2}>1\]

i.e. \(2n-1<a_n<3n-2\), donc si \(\left({a_n\over n}\right)_n\) converge, sa limite sera dans l’intervalle \([2,3]\). Mais, vu la définition de \(a_n\) :

\[1<{1\over n}+{1\over n+1}+\dots+{1\over a_n}<1+{1\over a_n}\]

en comparant avec une intégrale

\[1-{1\over n}< {1\over n+1}+\dots+{1\over a_n}<\int_n^{a_n}{dt\over t}<{1\over n}+{1\over n+1}+\dots+{1\over a_n-1}\leq 1\]

i.e.

\[1-{1\over n}<\log\left({a_n\over n}\right)<1\]

le résultat suit en prenant l’exponentielle.


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