Montrer que \(\pi^2\) est irrationel, en déduire que \(\pi\) est irrationel.


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[ID: 2855] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




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Irrationalité de \(\pi^2\) et donc de \(\pi\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

Considérons pour \(n\in\mathbb N^\star\) la fonction \[f_n(x)=\dfrac{x^n(1-x)^n}{n!}=\dfrac{1}{n!}\sum_{k=n}^{2n}c_kx^k,\] il n’est pas difficile de vérifier les propriétés suivantes :

\(\rightsquigarrow\quad\) \(c_k\in\mathbb N\) pour tout \(n\leq k\leq 2n\),

\(\rightsquigarrow\quad\) \(0<f_n(x)<\dfrac{1}{n!},\quad\forall\,x\in]0,1[\),

\(\rightsquigarrow\quad\) \(f_n^{(k)}(0)=0\)si \(k<n\) ou si \(k>2n\),

\(\rightsquigarrow\quad\) \(f_n^{(k)}(0)=\dfrac{k!c_k}{n!}\)si \(n\leq k\leq 2n\).

Donc \(f_n\) et toutes ses dérivées prennent des valeurs entières pour \(x=0\) ; comme de plus \(f_n\) est symétrique par rapport à \(x=1/2\), il en est de même si \(x=1\).

Supposons \(\pi^2\) rationnel égal à \(\dfrac{p}{q}\) et soit \[g_n(x)=q^n\left( \pi^{2n}f_n(x)-\pi^{2n-2}f_n''(x)+\pi^{2n-4}f_n^{(4)}(x)-\dots+(-1)^nf_n^{(2n)}(x)\right) .\] Les nombres \(g_n(0)\) et \(g_n(1)\) sont entiers et de plus \[\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left( g_n'(x)\sin(\pi x)-\pi g_n(x)\cos(\pi x)\right) &=\left(g_n''(x)+\pi^2 g_n(x) \right)\sin(\pi x) \\ &=q^n\pi^{2n+2}f_n(x)\sin(\pi x)\\ &=\pi^2p^n\sin(\pi x)f_n(x). \end{aligned}\] Donc \[\pi\int_0^1p^n\sin(\pi x)f_n(x)dx= \left[\dfrac{g_n'(x)\sin(\pi x)}{\pi}-g_n(x)\cos(\pi x) \right]_0^1=g_n(0)+g_n(1)\] est un entier. Mais de l’autre coté \[0<\pi\int_0^1p^n\sin(\pi x)f_n(x)dx<\dfrac{\pi p^n}{n!}\] et \(\dfrac{\pi p^n}{n!}\) est strictement plus petit que \(1\) pour \(n\) assez grand, d’où la contradiction

Remarque : cette démonstration est due à Niven (1946), la preuve originale de l’irrationalité de \(\pi\) par Lambert date de 1766, il est chaudement recommandé de la consulter ([EYLA], page 130).


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