Soit \(\displaystyle e:=\sum_{k\geq 0}{1\over k!}=1+{1\over 1!}+{1\over 2!}\dots+{1\over n!}+r_n\). Montrer que

\[\qquad{1\over n+1}<n!r_n<{1\over n}\]

en déduire que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi e n!)=2\pi\) puis que \(e\not\in\mathbb Q\).


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[ID: 2853] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:55] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Irrationalité de \(e\) (3)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

On a \[n!r_n=n!\sum_{k\geq n+1}{1\over k!}={1\over n+1}+{1\over{(n+1)(n+2)}}+\dots\] i.e. \[n!r_n>{1\over n+1}.\] On en déduit aussi \[n!r_n< {1\over n+1}+{1\over{(n+1)^2}}+\dots={1\over n}\] soit la double inégalité. De là on tire immédiatement \[\lim_{n\to\infty}\,n\,n!r_n = 1,\ {(\bigstar)}\] puis,

\[n\sin(2\pi en!)=n\sin(2\pi n!r_n)={{\sin(2\pi n!r_n)}\over{2\pi n!r_n}}2\pi r_n\,n!n\rightarrow 2\pi {(\text{$\star$})}\]

la limite résultant de \((\bigstar)\) et (\(\star\)) via \(\sin(x)\underset{x\to 0}{\sim} x\). D’un autre côté, si \(e\in\mathbb Q\,:\ \sin(2\pi e n!)=0\) d’où le résultat.

Remarques : -On peut donner une variante (plus classique, plus rapide) basée sur les mêmes inégalités : supposons que \(e={p\over q}\) avec \(q>1\), vu ce qui précède \[0<q!\left\vert e-\sum_{k=0}^q{1\over k!}\right\vert =q!r_q<{1\over q}\] autrement dit \[q!\left( e-\sum_{k=0}^q{1\over k!}\right)\in\ ]0,1[\] ce qui est visiblement absurde car \[q!\left( e-\sum_{k=0}^q{1\over k!}\right)= q!\left( {p \over q}-\sum_{k=0}^q{1\over k!}\right)\in\mathbb N.\]

-Le même argument montre que pour toute suite \((\varepsilon_n)_n\in\mathbb \{0,1\}^{\mathbb N}\) (non identiquement nulle à partir d’un certain rang), le réel \(\sum_{n\geq 0}\dfrac{\varepsilon_n}{n!}\) est irrationel.

-Voir aussi page [exp1] pour une autre preuve de l’irrationalité de \(e\).

-Montrer que \(\pi\) est irrationnel est plus délicat, une démonstration est donnée dans l’exercice suivant.


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