On définit la fonction exponentielle comme la solution de l’équation différentielle \(y'=y,\ y(0)=1\). Utiliser la formule de Taylor-Lagrange pour montrer que \(e:=y(1)\not\in\mathbb Q\).


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[ID: 2851] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Irrationalité de \(e\) (2)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:55

On raisonne par l’absurde en suppposant \(e=p/q\in\mathbb Q\). Commencons par remarquer qu’en appliquant à la fonction exponentielle la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre \(2\) sur \([0,1]\), il existe \(u\in]0,1[\) tel que \[e=1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{e^u}{3!},\] et la fonction exponentielle étant strictement croissante \[\dfrac{5}{2}<e<\dfrac{5}{2}+\dfrac{e}{6},\] soit \(5/2<e<3\). Il en résulte que si \(e=p/q\in\mathbb Q\) nécessairement \(q>2\). Maintenant appliquons la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre \(q\) sur \([0,1]\), il existe \(u_q\in]0,1[\) tel que \[e=1+1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{q!}+\dfrac{e^{u_q}}{(q+1)!},\] soit \[q!\left( e-\left[ 1+1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{q!}\right] \right) =\dfrac{q!e^{u_q}}{(q+1)!}\] qui implique \[0<\left\vert q!e-\sum_{k=0}^q\,q!k!^{-1}\right\vert < \dfrac{1}{q+1}<\dfrac{1}{3}<1\] ce qui est absurde puisque \(e-\sum_{k=0}^q\,k!^{-1}\in\mathbb Z\), contradiction et \(e\in\mathbb Q\).

Voir aussi page [exp1] pour une autre preuve de l’irrationalité de \(e\).


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