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[ID: 2849] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Suites numériques, calculs d’équivalents
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54

1. \((v_n)_n\) converge vers zéro et si \(\lim_{n\to\infty}v^\alpha_{n+1}-v^\alpha_n=\lambda\) on a par Cesaro :

   \[\begin{aligned} \lambda &=\lim_{n\to+\infty}{{\sum_{k=0}^{n-1}v_{k+1}^\alpha-v_k^\alpha}\over n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left({v_n^\alpha\over n}-{v_0^\alpha\over n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}{v_n^\alpha\over n} \end{aligned}\]

   soit vu que \(\lambda\ne 0\) : \[u_n-l\underset{n\to\infty}{\sim} \left(n\lambda\right)^{1\over\alpha}.\]

2. Passons à l’exemple : la suite \((u_n)_n\) est bien définie, décroissante minorée : elle est donc convergente vers la solution \(l\in[0,1]\) de \(\sin(l)=l,\) soit \(l=0\). Pour voir si la méthode précédente s’applique écrivons

   \[\begin{aligned} u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha &= \sin^\alpha (u_n)-u_n^\alpha \\ &=\left(u_n-{{u_n^3}\over 6}+o(u_n^3)\right)^\alpha-u_n^\alpha\quad(\text { car }\lim_n u_n=0)\\ &=u_n^\alpha\left(1-{{\alpha u_n^2}\over 6} +o(u_n^2)\right)-u_n^\alpha\\ &\underset{n\to\infty}{\sim}-{\alpha\over 6}u_n^{\alpha+2}\quad\text{ si }\ \alpha\ne 0. \end{aligned}\]

   Ainsi, pour \(\alpha=-2\) \[\lim_n\ u^ {-2}_{n+1}-u_n^{-2}={1\over 3}\] et par suite\(\displaystyle u_n\underset{n\to\infty}{\sim}\sqrt{3\over n}\).

   Remarque : L’exemple précédent est assez classique, pour changer vous pouvez par exemple montrer que si \((a_n)_n\subset\mathbb R_+,\ S_n:=\sum_{k=1}^n a_k^2\) et \(\lim_na_nS_n=1\) alors \(a_n\underset{n\to\infty}{\sim} n^{-1/3}\).