Exemple d’une série convergente dont un réarrangement des termes modifie la somme. Il y a beacoup de choses à dire et d’exemples plus simples.........


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[ID: 2847] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Série non commutativement convergente
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54

Il est bon de rappeler qu’il existe une constante (constante d’Euler) \(\gamma>0\) telle que \[x_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}=\log(n)+\gamma+\varepsilon_n\quad\text{avec}\quad\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=0.{(\bigstar)}\] Considérons alors \[y_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\] on a \[\begin{aligned}y_{2n}&=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\\ &= 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{2n-1} -\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dots+\dfrac{1}{n} \right) \\ &= 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{2n-1} +\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dots+\dfrac{1}{n} \right) -\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dots+\dfrac{1}{n} \right) \\ &= 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n} -\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dots+\dfrac{1}{n} \right) \\ &=x_{2n}-x_{n}=\log(2n)+\gamma+\varepsilon_{2n}-\log(n)-\gamma-\varepsilon_n\\ &=\log(2)+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_n\longrightarrow\log(2)\quad\text{lorsque}\quad n\to\infty \end{aligned}\] la série \(\sum_{n\geq 1}y_n\) est donc convergente et de somme \(\log(2)\).

Groupons maintenant les termes en prenant alternativement deux termes positifs puis un terme négatif, par exemple pour les premiers termes : \[1,\ \dfrac{1}{3},\ -\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{1}{7},\ -\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{9},\ \dfrac{1}{11},\ -\dfrac{1}{6}\dots\] si on désigne par \(z_n\) la somme des \(n\) premiers termes de cette nouvelle suite \[\begin{aligned} z_{3n}&=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{4n-1} -\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2n}\right)\\ &= 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{4n}-\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{4n}\right) -\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2n}\right)\\ &=x_{4n}-\dfrac{1}{2}\left( x_{2n}+x_n\right)\\ &=\log(4n)-\dfrac{1}{2}\left( \log(2n)+\log(n)\right)+\varepsilon_{4n}-\dfrac{1}{2}\left( \varepsilon_{2n}+\varepsilon_n\right)\ \longrightarrow\dfrac{3}{2}\log(2) \quad\text{lorsque}\quad n\to\infty \end{aligned}\] et la modification de l’ordre des termes a bien modifié la somme de la série.

Remarque : ...................................


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