Lecture zen
*
Formule de Wallis et applications
Établir la formule de Wallis (1655) \[\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2.2}{1.3}\dfrac{4.4}{3.5}\dfrac{6.6}{5.7}\dots=\prod_{n\geq 1} \dfrac{4n^2}{4n^2-1}.{(\text{$\star$})}\]
En déduire que dans le jeu de pile ou face la probabilité \(p_n\) lors de \(2n\) jets successifs d’obtenir \(n\) pile et \(n\) face satifait, quand \(n\) tends vers l’infini, à l’équivalent \[p_n \underset{n\to\infty}{\sim}\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}.\]
En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss \[\int_0^\infty \exp{(-t^2)}dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.\]
En déduire la formule de Stirling (1730) \[n!\underset{n\to\infty}{\sim}\sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e}\right)^n.\]
Du développement de Stirling \[n!=\sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\left( 1+\dfrac{1}{12n} +o\left( \dfrac{1}{n^2}\right) \right)\] préciser la formule de Stirling \[\dfrac{\pi}{2}-p_n\underset{n\to\infty}{\sim} \dfrac{\pi}{8n}\]
Barre utilisateur
[ID: 2845] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Formule de Wallis et applications
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54
On reprend in-extenso des extraits du remarquable ouvrage de P. Eymard & J.P. Lafon, [EYLA].
Documents à télécharger
L'exercice