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[ID: 2843] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Si \((x_j)_j\subset\mathbb R_+\) et \(\sum_j x_j=A\) alors \(\sum_j x_j^2\ \in\,]0,A^2[\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54

Nous allons vérifier que l’ensemble des valeurs possibles pour la série \(\sum_j x_j^2\) est l’intervalle ouvert \(]0,A^2[\).

-Pour s’assurer que \(\sum_j x_j^2\subset ]0,A^2[\) on peut remarquer (la série est bien entendu convergente et à valeurs dans \(\mathbb R_+^\star\)) que pour tout \(m\in\mathbb N\) \[\left( \sum_{j=0}^m x_j\right)^2=\sum_{j=0}^m x_j^2+2\sum_{0\leq j<k\leq m} x_jx_k\] si bien qu’on peut écrire \[\sum_{j=0}^m x_j^2\leq \left( \sum_{j=0}^m x_j\right)^2 - 2\sum_{0\leq j<k\leq m} x_jx_k\leq A^2-2x_0x_1,\quad\forall\,m\in\mathbb N\] soit, si \(m\) tends vers l’infini \[\sum_{j\geq 0}x_j^2\leq A^2-2x_0x_<A^2.\]

-Il reste maintenant à s’assurer que toutes les valeurs de \(]0,A^2[\) vont être atteintes : à cet effet, on considère la suite géométrique \((x_j)_j\) de raison \(d\) variable (\(x_{j+1}/x_j=d\)). Alors \[\sum_{j\geq 0}x_j= \dfrac{x_0}{1-d}\quad\text{et}\quad\sum_{j\geq 0}x_j^2=\dfrac{x_0^2}{1-d^2}=\dfrac{1-d}{1+d}\left( \sum_{j=0}^m x_j\right)^2=\dfrac{1-d}{1+d}A^2.\] Vu cette dernière formule, lorsque \(d\) croit de \(0\) à \(1\) la quantité \((1-d)/(1+d)\) décroit de \(1\) à \(0\) et par conséquent \(\sum_j x_j^2\) va prendre toutes les valeurs entre \(0\) et \(A^2\).