\(\mathscr P\) désignant l’ensemble des nombres premiers, montrer que la série \[\sum_{p\in\mathscr P}\dfrac{1}{p}\] diverge.


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[ID: 2841] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Divergence de la série \(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54

Notons \(p_1,p_2,\dots\) la suite croissante des nombres premiers. Si la série \(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\) converge, il existe un entier \(k\) tel que \[\sum_{i\geq k+1}\dfrac{1}{p_i}<\dfrac{1}{2}\] et par suite \[\forall\,N\in\mathbb N,\qquad\sum_{i\geq k+1}\dfrac{N}{p_i}<\dfrac{N}{2}.{(\text{$\star$})}\] Nous dirons que \(p_1,p_2,\dots,p_k\) sont les petits nombres premiers, les autres \(p_{k+1},p_{k+2},\dots\) seront les grands nombres premiers. Pour \(N\in\mathbb N\), \(N_b\) sera le nombre d’entiers \(n\leq N\) admettant au moins un grand nombre premier comme diviseur et \(N_s\) lui désignera le nombre d’entiers \(n\leq N\) admettant uniquement des petits nombres premiers comme diviseur. Nous allons montrer que l’hypothèse de convergence de la série assure, pour un entier \(N\) convenablement choisi, l’inégalité \(N_b+N_s<N\) d’où la contradiction désirée puisque bien entendu \(N=N_b+N_s\).

Pour estimer \(N_b\), remarquons que \(E\left( \dfrac{N}{p_1}\right)\) est le nombre d’entiers \(n\leq N\) multiples de \(p_1\), la formule (\(\star\)) donne \[N_b\leq \sum_{i\geq k+1}E\left( \dfrac{N}{p_i}\right) <\dfrac{N}{2}.{(\text{$\star$})}\] Considérons maintenant un entier \(n\leq N\) n’admettant que des petits diviseurs premiers, et écrivons le sous la forme \(n=a_nb_n^2\)\(a_n\) est la partie non carrée. Chaque \(a_n\) se décompose donc en un produit de différents petits nombres premiers : il y a donc \(2^k\) choix possibles pour \(a_n\). Comme \(b_n\leq \sqrt n\leq \sqrt N\), il reste au plus \(\sqrt N\) choix possibles pour \(b_n\) soit \[N_s\leq 2^k\sqrt{N}.{(\bigstar)}\] On choisit enfin \(N\) suffisamment grand pour que \(2^k\sqrt{N}\leq N/2\) (i.e. \(2^{k+1}\leq \sqrt{N}\)), par exemple \(N=2^{2k+2}\) ; la formule (\(\star\)) étant vraie pour tout \(N\) elle donne avec \((\bigstar)\) : \(N_b+N_s<N\) d’où la contradiction.

Remarque : La divergence de la série \(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\) est établie pour la première fois par L.Euler en 1748. La preuve ci-dessus est celle de P.Erdös (1938). Un corollaire immédiat est que l’ensemble des nombres premiers est infini.


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