\(\alpha(n),\ (n\in\mathbb N)\) désignant le nombres de \(0\) dans l’écriture décimale de \(n\) en base \(3\). Montrer que la série entière \[\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^{\alpha(n)}}{n^3}\] converge si, et seulement si \(\vert x\vert<25\).


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[ID: 2839] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Convergence d’une série par sommation par paquets
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54

L’entier \(n\in\mathbb N^\star\), admet exactement \(k+1\) chiffres dans son écriture en base \(3\) si, et seulement si \(3^k\leq n< 3^{k+1}\). Ainsi, si pour \(x>0\) on pose \[S_k=\sum_{n=3^k}^{3^{k+1}-1} \dfrac{x^{\alpha(n)}}{n^3}\quad\text{et}\quad T_k=\sum_{n=3^k}^{3^{k+1}-1}x^{\alpha(n)},\] alors, la série à termes positifs \(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{\alpha(n)}}{n^3}\) sera convergente si, et seulement si la série \(\sum_{k=0}^\infty S_k\) converge.

Maintenant, \(3^k\leq n< 3^{k+1}\) implique que \(3^{3k}\leq n^3<3^{3k+3}\) et donc \[\dfrac{T_k}{3^{3k+3}} \leq S_k< \dfrac{T_k}{3^{3k}}.\] Ainsi la convergence de la série \(\sum_{k=0}^\infty S_k\) équivaut à celle de \(\sum_{k=0}^\infty\frac{T_k}{3^{3k}}\).

Le nombre d’entiers \(n\) à \(k+1\) chiffres en base \(3\) (i.e. \(3^k\leq n< 3^{k+1}\)) tels que \(\alpha(n)=i\) est \(C_k^i2^{k+1-i}\) (il y a \(C_k^i\) possibililités pour choisir les \(i\) chiffres parmi les \(k\) (et pas \(k+1\) car le premier ne peut etre égal à \(0\)) puis sur les \(k+1-i\) restant nous avons le choix entre \(1\) et \(2\) soit encore \(2^{k+1-i}\) possibilités), par conséquent \[T_k=\sum_{i=0}^kC_k^i2^{k+1-i}x^i=2(x+2)^k\] et \[\sum_{k=0}^\infty\dfrac{T_k}{3^{3k}}=2\sum_{k=0}^\infty\left( \dfrac{x+2}{27}\right)^k\] série convergente si, et seulement si \(\vert({x+2})/{27}\vert<1\) i.e. (pour \(x>0\)) si et seulement si \(x<25\).

Remarque : Si on remplace base \(3\) par base \(k\) , le même raisonnement assure la convergence pour \(\vert x\vert < k^k-k+1\) (\(25 = 3^3-3+1\)...).


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