Soit \((a_n)_n\subset\mathbb C^\star\) une suite de nombres complexes vérifiant \[\forall\,m\neq n\in\mathbb N\quad:\quad\vert a_n-a_m\vert\geq 1.{(\text{$\star$})}\] Montrer que la série \[\sum_{n\geq 0}\dfrac{1}{a_n^3}\] converge.


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[ID: 2837] [Date de publication: 9 novembre 2022 21:54] [Catégorie(s): Suites et séries ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Convergence de \(\sum_n a_n^{-3}\), où \(\vert a_n-a_m\vert>1,\ \forall\,m\neq n\in\mathbb N\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 21:54

Considérons une suite \((a_n)_n\) de nombres complexes vérifiant la propriété (\(\star\)). Posons pour tout entier \(k\) \[S_k=\{ n\in\mathbb N\ :\quad k<\vert a_n\vert\leq k+1\}.\] Les disques fermés de centre \(a_n\) et de rayon \(1/2\) sont par hypothèse deux à deux disjoints et pour tout \(n\in S_k\) \[\overline D(a_n, 1/2)\subset \{z\in\mathbb C\ :\ k-\dfrac{1}{2}\leq \vert z\vert\leq k+\dfrac{3}{2}\}=C(0,k-1/2,k+3/2).\] (si \(k=0\), interpréter le second terme comme le disque \(D(0,3/2)\)) soit, en sommant les aires \[\text{card}(S_k)\dfrac{\pi}{4}\leq \pi\left[ \left( k+\dfrac{3}{2}\right)^2- \left( k-\dfrac{1}{2}\right)^2\right] =2\pi(2k+1)\] si \(k\in\mathbb N^\star\) et \[\text{card}(S_0)\dfrac{\pi}{4}\leq \pi \dfrac{9}{4}\] si \(k=0\). Ainsi \[\text{card}(S_0)\leq 9\quad\text{et}\quad\text{card}(S_k)\leq 8(2k+1),\ \forall\,k\in\mathbb N^\star.\] Par conséquent, pour tout \(k\in\mathbb N^\star\) \[\sum_{n\in S_k}\dfrac{1}{\vert a_n\vert^3}\leq\dfrac{\text{card}(S_k)}{k^3}\leq \dfrac{8(2k+1)}{k^3}\leq \dfrac{24}{k^2}\] car \(\overline D(a_n,1/2)\subset C(0,k-1/2,k+3/2)\) implique \(\vert a_n\vert\leq k\) et \(k\geq 1\implies 2k+1\leq 3k\). De même \(S_0\) étant fini, la somme \(\sum_{n\in S_0}\frac{1}{\vert a_n\vert^3}\) est finie et finalement \[\sum_{n\in\mathbb N}\dfrac{1}{\vert a_n\vert^3}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{n\in S_k}\dfrac{1}{\vert a_n\vert^3}\leq \sum_{n\in S_0}\dfrac{1}{\vert a_n\vert^3}+\sum_{k=1}^\infty \dfrac{24}{k^2}<\infty\] où la sommation par paquets dans le second terme est légitime puisque la série est à termes positifs et \((S_k)_{k\geq 0}\) une partition de \(\mathbb N\).


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