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[ID: 2835] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^{+\infty}\,{{\sin (t)}\over t}dt\) (8)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

Soient \(0<\varepsilon<T\), nous avons \[\begin{aligned}\int_\varepsilon^T\,\dfrac{\sin(x)}{x}dx&=\int_\varepsilon^T\,\sin(x)\left( \int_0^\infty\,e^{-xy}dy\right) dx\\ &=\int_0^\infty\,\left( \int_\varepsilon^T\,\sin(x)e^{-xy}dx\right) dy\\ &=\int_0^\infty\,\dfrac{e^{-y\varepsilon}(\cos\varepsilon+y\sin\varepsilon)-e^{-yT}(\cos T+y\sin T)}{y^2+1}dy\\ &=\int_0^\infty\,g_{\varepsilon,T}(y)dy \end{aligned}\] l’application ci-dessus du théorème de Fubini est justifiée par \(\vert f(x,y)\vert\leq e^{-xy}\) et \[\int_\varepsilon^T\,\left( \int_0^\infty\,e^{-xy}dy\right) dx= \int_\varepsilon^T\,\left[ -\dfrac{e^{xy}}{x}\right]_0^\infty dx=\int_\varepsilon^T\,\dfrac{dx}{x}=\log\dfrac{T}{\varepsilon}<\infty.\] pour tous \(0<\varepsilon<T\).

Maintenant, observons que pour \(0<\varepsilon\leq y\) \[\vert e^{-y\varepsilon}(\cos\varepsilon+y\sin\varepsilon)\vert\leq 1+y\varepsilon e^{-y\varepsilon}\leq 1+e^{-1},\] de même, pour \(T\geq 1\) \[\vert e^{-yT}(\cos T+y\sin T)\vert\leq e^{-yT}(1+y)\leq e^{-y}(1+y).\] Ainsi pour \(0<\varepsilon\leq y\leq T\) et \(T\leq 1\) \[\vert g_{\varepsilon,T}(y)\vert\leq \dfrac{\max\{(1+e^{-1}, e^{-y}(1+y)\}}{y^2+1}\in L^1(\mathbb R_+).\] Il est donc légitime d’invoquer le théorème de la convergence dominée pour écrire \[\lim_{\varepsilon\to 0_+}\lim_{T\to +\infty}\int_0^\infty\,g_{\varepsilon,T}(y)dy=\int_0^\infty\,\dfrac{dy}{y^2+1}=\dfrac{\pi}{2},\] d’autre part, comme \[\int_\varepsilon^T\,\dfrac{\sin(x)}{x}dx=\int_0^\infty\,g_{\varepsilon,T}(y)dy\] nous avons finalement \[\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(x)}{x}dx=\lim_{\varepsilon\to 0_+}\lim_{T\to +\infty}\int_0^\infty\,g_{\varepsilon,T}(y)dy=\dfrac{\pi}{2}.\]