Soit \(f\in\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\), s’il existe \(a>0\) tel que \[0\leq f(x)\leq a^{2/3},\ \forall\,x\in[0,1],\quad {\text{et}}\quad \int_0^1\,f(x)dx=a,\] montrer à l’aide de l’inégalité de Hölder que \[\int_0^1\,\sqrt{f(x)}dx\geq a^{2/3}.\]


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[ID: 2833] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Autour d’Hölder
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

D’aprés l’inégalité d’Hölder1 nous avons pour \(p>1\) \[\begin{aligned}a=\int_0^1\, f(x)^{\frac{1}{2p}+1-\frac{1}{2p}}dx&\leq \left( \int_0^1\,\left[ f(x)^{\frac{1}{2p}}\right]^{p}dx\right)^{1/p} \left( \int_0^1\,\left[ f(x)^{1-\frac{1}{2p}}\right]^{\frac{p}{p-1}}dx\right)^{\frac{p-1}{p}}\\ &\leq \left( \int_0^1\,\sqrt{f(x)}dx\right)^{1/2p} \left( \int_0^1\,\left[ (a^{2/3})^{1-\frac{1}{2p}}\right]^{\frac{p}{p-1}}dx\right)^{\frac{p-1}{p}}\\ & =\left( \int_0^1\,\sqrt{f(x)}dx\right)^{1/2p} a^{\frac{2p-1}{3p}} \end{aligned}\] soit \[a^{\frac{p+1}{3}}\leq \int_0^1\,\sqrt{f(x)}dx,\quad\forall\,p>1.\] Comme \(p>1\) est arbitraire, le résultat suit en faisant tendre \(p\) vers \(1\).


  1. 1  Si \(f\in L^p(I),\ g\in L^q(I)\) alors \(fg\in L^1(I)\) et \(\int_I\vert f(x)g(x)\vert dx\leq (\int_I\vert f(x)\vert^p dx)^{1/p}(\int_I\vert f(x)\vert^q dx)^{1/q}\)\(p>1, q>1\) conjugués, et donner une référence....

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