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Autour des sommes de Riemann
[rms], 2008.
Soit \(f\in\mathscr C([0,1],\mathbb R^{\star +})\).
Pour tout \(n\in\mathbb N^\star\), établir l’existence de \((a_{n,0},\dots,a_{n,n})\in\mathbb R^{n+1}\) tel que \[0=a_{n,0}<\dots<a_{n,n}=1\ {\text{\ et\ }}\ \forall\,i\in\{0,\dots,n-1\}\ :\ \ \int_{a_{n,i}}^{a_{n,i+1}}\,f(t)dt=\dfrac{1}{n}\int_0^1f(t)dt.\]
Déterminer la limite, quand \(n\) tends vers \(+\infty\) de : \(\dfrac{a_{n,0}+\dots+a_{n,n}}{n+1}\).
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[ID: 2831] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Autour des sommes de Riemann
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18
\(f\) étant continue sur \([0,1]\) à valeurs strictement positives l’application \(F\ :\ [0,1]\ni x\mapsto \int_0^x\, f(t)dt\) est continue, strictement croissante de \([0,1]\) sur \([0,\int_0^1\, f(t)dt]\) : par le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout \(n\in\mathbb N\), il existe \(a_{n,0},\dots, a_{n,n}\) dans \([0,1]\) tels que \[F(a_{n,k})=\dfrac{k}{n}\int_0^{1}\,f(t)dt,\quad k=0,\dots,n.\] et ces réels sont uniques.
Vu ce qui précède, \(F^{-1}\in\mathscr C([0,\int_0^1\, f(t)dt], [0,1])\), la suite \((\frac{k}{n}\int_0^{1}\,f(t)dt)_{k=0}^n\) est une subdivision de l’intervalle \([0,\int_0^1\, f(t)dt]\), par conséquent \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n,0}+\dots+a_{n,n}}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\,F^{-1}\left( \dfrac{k}{n}\int_0^{1}\,f(t)dt\right) =\int_0^{\int_0^1f(u)du}\,F^{-1}(t)dt.\]
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