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Minore !
Soit \(f\in\mathscr C^1(\mathbb R)\) , si \(f(1)=1\) et \[f'(x)=\dfrac{1}{x^2+f^2(x)},\quad\forall\,x\geq 1,\] montrer que \[\lim_{x\to+\infty}f(x)\leq 1+\dfrac{\pi}{4}.\]
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[ID: 2829] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Minore !
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18
Une telle fonction sera visiblement strictement croissante, par conséquent \[f(x)>f(1)=1,\quad\forall\,x>1,\] puis \[f'(x)=\dfrac{1}{x^2+f^2(x)}<\dfrac{1}{1+x^2},\quad\forall\,x>1.\] Ainsi, pour \(x>1\) \[\begin{aligned}f(x)&=f(1)+\int_1^x\,f(t)dt\\ &<1+\int_1^x\dfrac{dt}{1+t^2}<1+\int_1^\infty\dfrac{dt}{1+t^2}=1+\dfrac{\pi}{4}. \end{aligned}\]
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