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[ID: 2827] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une jolie intégrale....
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

Nous connaissons le développement en série entière de \((1+x)^\alpha\) qui nous donne \[C(\alpha)=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-2006)}{2007!}.\] Donc \(C(-t-1)=(t+1)(t+2)\dots(t+2007)/2007!\) et notre intégrande s’écrit \[\begin{aligned} C(-t-1)&\left( \dfrac{1}{t+1}+\dfrac{1}{t+2}+\dots+\dfrac{1}{t+2007}\right)\\ &=\dfrac{(t+1)(t+2)\dots(t+2007)}{2007} \left( \dfrac{1}{t+1}+\dfrac{1}{t+2}+\dots+\dfrac{1}{t+2007}\right)\\ &=\dfrac{(t+2)\dots(t+2007)+(t+1)(t+3)\dots(t+2007)+(t+1)(t+2)\dots(t+2006)}{2007!}\\ &=\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{(t+1)(t+2)\dots(t+2007)}{2007!}\right) . \end{aligned}\] Le calcul devient alors élémentaire \[\begin{aligned} \int_0^1\,C(-t-1)\left( \dfrac{1}{t+1}+\dfrac{1}{t+2}+\dots+\dfrac{1}{t+2007}\right) dt&=\int_0^1\,\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{(t+1)(t+2)\dots(t+2007)}{2007!}\right)dt\\ &=\left[ \dfrac{(t+1)(t+2)\dots(t+2007)}{2007!}\right]_0^1\\ &=\dfrac{2008!-2007!}{2007!}=2007. \end{aligned}\]

 Moralité :  Surtout ne pas se laisser impressionner !