Pour quels couples \((a,b)\in\mathbb R_+^\star\times\mathbb R_+^\star\) l’intégrale impropre \[\int_b^\infty\,\left( \sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}\right)dx\] converge ?


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[ID: 2825] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Nature d’une intégrale impropre
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

L’intégrale est visiblement impropre uniquement en \(+\infty\), en utilisant répétitivement le développement limité \(\sqrt{1+t}=1+t/2+O(t^2)\) on a \[\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}&=x^{1/4}\sqrt{\sqrt{1+\dfrac{a}{x}}-1}\\ &=x^{1/4}\sqrt{\dfrac{a}{2x}+O(x^{-2})}\\ &=\sqrt{\dfrac{a}{2}}x^{-1/4}(1+O(x^{-1})) \end{aligned}\] et \[\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}&=x^{1/4}\sqrt{1-\sqrt{1-\dfrac{b}{x}}}\\ &=x^{1/4}\sqrt{\dfrac{b}{2x}+O(x^{-2})}\\ &=\sqrt{\dfrac{b}{2}}x^{-1/4}(1+O(x^{-1})). \end{aligned}\] Donc au voisinage de \(+\infty\) l’intégrande est équivalent à la fonction de signe constant (toujours au voisinage de \(+\infty\)) \[\left( \sqrt{\dfrac{a}{2}}-\sqrt{\dfrac{b}{2}}\right) x^{-1/4}+O(x^{-5/4}),\] et comme \(\int_b^\infty\,x^{-5/4}dx\) (car b>0) converge, notre intégrale sera convergente si et seulement si \(\int_b^\infty(\sqrt{a/2}-\sqrt{b/2})x^{-1/4}dx\) converge soit, si et seulement si \(a=b\) puisque \(\int_b^\infty\,x^{-1/4}dx\) diverge.


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