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Encore une petite inégalité
Soit \(f\in\mathscr C([0,1],[m,M])\) vérifiant \(\ \displaystyle\int_a^b f(t)dt=0\). Montrer que \[\int_a^b f^2(t)dt\leq -mM(b-a).\]
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[ID: 2823] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Encore une petite inégalité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18
Vu les hypothèses \[\int_a^b (f(t)-m)(M-f(t))dt\geq 0.\] Soit \[(M+m)\int_a^b f(t)dt-\int_a^bf^2(t)dt-mM(b-a)=-\int_a^bf^2(t)dt-mM(b-a)\geq 0,\] i.e. \[\int_a^bf^2(t)dt\leq -mM(b-a).\] Q.E.D.
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