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[ID: 2821] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\int_\mathbb R \vert f(t)\vert dt\leq \sqrt{8}\left( \int_\mathbb R \vert t f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}\left( \int_\mathbb R \vert f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}.\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

Il n’y a bien sûr pas de raisons que \(f\in L^1(\mathbb R)\) assure la convergence des deux intégrales dans le terme de droite de l’inégalité. Dans le cas où au moins l’une de ces deux intégrales diverge on convient que l’inégalité s’écrit \(\int_\mathbb R \vert f(t)\vert dt\leq +\infty\) et il n’y a rien à démontrer. On peut donc dorénavant, supposer que ces trois intégrales convergent.

Soit \(x\in\mathbb R_+^\star\), pour faire apparaitre un terme du type \(tf(t)\), il convient d’isoler l’origine : \[\begin{aligned} \int_\mathbb R\vert f(t)\vert dt&=\int_{[-x,x]} \vert f(t)\vert dt+\int_{\mathbb R\setminus [-x,x]}\dfrac{1}{\vert t\vert}\vert tf(t)\vert dt\\ &\leq \sqrt{2x}\sqrt{\int_{[-x,x]} \vert f(t)\vert^2 dt}+\sqrt{\dfrac{2}{x}}\sqrt{\int_{\mathbb R\setminus [-x,x]}\vert tf(t)\vert^2 dt}\\ &\leq \sqrt{2Ax}+ \sqrt{\dfrac{2B}{x}}:=\varphi(x),\quad\forall\,x\in\mathbb R_+^\star \end{aligned}\] avec \(A= \int_\mathbb R \vert f(t)\vert^2 dt,\ B=\int_\mathbb R \vert t f(t)\vert^2 dt\), et où on a appliqué l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans les deux intégrales pour obtenir la seconde inégalité. Ainsi \[\int_\mathbb R\vert f(t)\vert dt\leq \inf_{x\in\mathbb R_+^\star}\varphi(x)\] et déterminer cet infimum ne pose aucun problème puisque \(\varphi\) tends vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tends vers \(0\) et \(+\infty\) et que sa dérivée ne s’annule qu’au point \(x=\sqrt{B/A}\) soit \(\varphi(\sqrt{B/A})=\inf_{x\in\mathbb R_+^\star}\varphi(x)=\sqrt{8}A^{1/4}B^{1/4}\), soit l’inégalité demandée.