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[ID: 2815] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

L’inégalité de Hardy \(\int_0^T\left(x^{-1}\int_0^xf(u)du\right)^2dx\leq 4\int_0^Tf^2(x)dx.\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

\(\bullet\)\(g\) est continue sur \(\mathbb R_+^\star\) et pour \(x>0\) on a avec Cauchy-Schwarz \[\vert g(x)\vert=\dfrac{1}{x}\left\vert\int_0^x\,f(t)dt\right\vert \leq\dfrac{1}{x}\left(\int_0^x dt\right)^{1/2}\left(\int_0^x f^2(t)dt\right)^{1/2}\\ = \dfrac{\left(\int_0^x f^2(t)dt\right)^{1/2}}{\sqrt{x}}\] comme \(f\in L^2(\mathbb R_+\), il en résulte \[g(x)=o\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right),\quad\text{pour\ }x\to 0.{\text{(\ding{56})}}\] \(g\) est intégrable à l’origine et donc sur \([0,A]\) pour tout \(A>0\). On utilisera ultérieurement cette estimation.

\(\bullet\)Soit \(A>0\), on va commencer par montrer l’inégalité sur \([0,A]\) i.e. \(\int_0^A\,g^2(t)dt\leq 4\int_0^A\,f^2(t)dt\) ; on peut bien entendu supposer \(\int_0^A f(t)dt\neq 0\) sinon il n’y a rien à démonter. Soit \(0<x<A\) : \[\begin{aligned} \int_0^A\,\dfrac{1}{x^2}\left(\int_0^x\,f(t)dt\right)^2dx&= -\int_0^A\,\left(\dfrac{1}{x}\right)'\left(\int_0^x\,f(t)dt\right)^2dx\\ &=-\left[ \dfrac{1}{x}\left(\int_0^x\,f(t)dt\right)^2\right]_0^A +\int_0^A\dfrac{2f(x)}{x}\int_0^x\,f(t)dtdx\\ &=\int_0^A\dfrac{2f(x)}{x}\int_0^x\,f(t)dtdx-\dfrac{1}{A}\left(\int_0^A\,f(t)dt\right)^2\\ &\leq 2\int_0^A\dfrac{f(x)}{x}\int_0^x\,f(t)dtdx,\quad\text{car\ }\ \dfrac{1}{A}\left(\int_0^A\,f(t)dt\right)^2\geq 0, \end{aligned}\] où l’intégration par partie dans l’intégrale généralisée est légitime car deux termes parmi les trois existent, le terme en crochets étant nul à l’origine vu (). Maintenant de cette inégalité et toujours par Cauchy-Schwarz \[\begin{aligned} \int_0^A\,\dfrac{1}{x^2}\left(\int_0^x\,f(t)dt\right)^2dx&\leq 2\int_0^A\,f(x)\times\left(\dfrac{\int_0^x\,f(t)dt}{x}\right)dx\\ &\leq 2\left(\int_0^A f^2(t)dt\right)^{1/2}\left(\int_0^A\,\dfrac{1}{x^2}\left(\int_0^x\,f(t)dt\right)^2dx\right)^{1/2}\\ \end{aligned}\] soit puisque \(\int_0^A f(t)dt\neq 0\) \[\int_0^A\,g^2(t)dt=\int_0^A\,\dfrac{1}{x^2}\left(\int_0^x\,f(t)dt\right)^2dx\leq 4\int_0^A\,f^2(t)dt.{\text{(\ding{52})}}\]

\(\bullet\)Montrons que la constante \(4\) dans () est optimale. Pour cela, si elle est vérifiée pour un \(C<4\) on l’applique à \(f(t)=t^{-\alpha},\ -1/2<\alpha<1/2\) \[\int_0^A\dfrac{dx}{x^{2}}\left(\int_0^x\,\dfrac{dt}{t^\alpha}\right)^2dx =\dfrac{A^{1-2\alpha}}{(1-2\alpha)(1-\alpha)^2}\leq C\int_0^A\dfrac{dt}{t^\alpha}=C\cdot\dfrac{A^{1-2\alpha}}{1-2\alpha}\] qui donne \[\dfrac{1}{(1-\alpha)^2}\leq C,\] et en faisant tendre \(\alpha\) vers \(1/2\) on obtient \(C\geq 4\) : \(4\) est bien optimale dans ().

\(\bullet\)On a donc pour tout \(A>0\) \[0\leq \int_0^A\,g^2(t)dt\leq 4\int_0^A\,f^2(t)dt\leq 4\int_0^\infty\,f^2(t)dt<\infty,\] \(g^2\) est donc intégrable sur \(\mathbb R_+\) et \[\int_0^\infty\,g^2(t)dt\leq 4\int_0^\infty\,f^2(t)dt.\] La constante \(4\) est bien entendu encore optimale (reprendre le raisonnement précedent avec des fonctions continues sur \(\mathbb R_+^\star\) nulles sur \([2,+\infty[\) et égales à \(t^{-\alpha}\) sur \(]0,1]\) avec \(\vert\alpha\vert< 1/2\)).