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[ID: 2813] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:18] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Optimisation et convexité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:18

Il est clair que \(l(x)=f(x)\) pour au moins une valeur de \(x\) (sinon, ou pourrait déplacer le graphe de \(l\) verticalement ce qui réduirait la valeur de l’intégrale). Le graphe de \(l\) est donc tangent à celui de \(f\) et il existe \(c\in[a,b]\) tel que \[l(x)= f(c)+f'(c)(x-c)\] On peut maintenant aussi remarquer que minimiser \[\int_a^b(f(t)-l(t))dt=\int_a^bf(t)dt-\int_a^b l(t)dt\] équivaut à maximiser \[\begin{aligned}\int_a^b l(t)dt&=\int_a^b (f'(c)t+f(c)-cf(c))dt\qquad a\leq c\leq b\\ &=\dfrac{f'(c)}{2}(b^2-a^2)+(b-a)(f(c)-cf'(c))\\ &=(b-a)\left( \dfrac{f'(c)}{2}(a+b)+f(c)-cf'(c)\right). \end{aligned}\] Il s’agit donc de maximiser sur l’intervalle \([a,b]\) l’application \[g(c)=\dfrac{f'(c)}{2}(a+b)+f(c)-cf'(c).\] Or, \(g'(c)=\dfrac{f''(c)}{2}(a+b-2c)\), mais \(f''>0\) : \(g'\) est donc du signe de \(c\mapsto a+b-2c\). Ainsi \(g\) est croissante sur \([a,(a+b)/2]\) et décroissante sur \([(a+b)/2,b]\) son maximum est donc atteint au point médian \((a+b)/2\). L’inf de notre problème est donc réalisé par la tangente à la courbe au point \((a+b)/2\) : \[l(x)=f\left( \dfrac{a+b}{2}\right) +f'\left( \dfrac{a+b}{2}\right)\left( x-\dfrac{a+b}{2}\right).\]