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[ID: 2811] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude de \(x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{\log(t)}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

\(F\) est clairement dérivable sur \(]1,+\infty[\) avec \[F'(x)=\dfrac{x-1}{\log(x)},\quad\forall\,x\in ]1,+\infty[.\] soit \(F'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\) : \(F\) est strictement croissante sur \(]1,+\infty[\) et en particulier injective. Comme \[F(x)\geq (x^2-x)\rm{min}\left\lbrace \,\dfrac{1}{\log(t)}\ :\ x\leq t\leq x^2\right\rbrace =\dfrac{x^2-x}{\log(x^2)}\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty,\] nous avons \(F(]1,+\infty[)=]F(1_-),+\infty[\). Pour déterminer \(F(1_-)\), le changement \(t=e^u\) donne \[F(x)=\int_{\log(x)}^{2\log(x)}\dfrac{e^u}{u}du\] soit \[x\log(2)=e^{\log(x)}\int_{\log(x)}^{2\log(x)}\dfrac{du}{u}< F(x)<e^{2\log(x)}\int_{\log(x)}^{2\log(x)}\dfrac{du}{u}=x^2\log(2)\] qui assure \(F(1_-)=\log(2)\) : ainsi \(F(]1,+\infty[)=]\log(2),+\infty[\).