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Le lemme de Cantor
Soient \((a_n)_n,\,(b_n)_n\) deux suites de nombres réels telles que la suite de fonctions \(\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)_n\) converge simplement sur \(\mathbb R\) vers la fonction nulle. Montrer que \(\lim_n a_n=\lim_n b_n=0\) (lemme de Cantor).
Montrer que la conclusion subsiste si la convergence simple à lieu seulement sur un intervalle \([a,b]\) (où \(a<b\)).
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[ID: 2809] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Le lemme de Cantor
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17
Avec \(x=0\) on a déja \(\lim_n a_n=0\). Vu l’hypothèse, on a alors \(\lim_n b_n\sin(nx)=0,\ \forall\,x\in\mathbb R\) ; supposons que \((b_n)_n\) ne converge pas vers zéro : il existe alors \(\varepsilon>0\), une suite strictement croissante d’entiers \((n_k)_k\) vérifiant pour tout \(k\) : \(\vert b_{n_k}\vert\geq \varepsilon\). Mais alors, puisque \(\left(b_{n_k}\sin(n_k x)\right)_k\) converge simplement vers zéro sur \(\mathbb R\) la suite \(\left(\sin(n_k x)\right)_k\) est nécessairement simplement convergente vers zéro sur \(\mathbb R\), en outre \(0\leq \sin^2(n_k x)\leq 1\in L^1([0,2\pi])\). On peut donc appliquer le théorème de la convergence dominée :
\[\lim_k\int_0^{2\pi}\sin^2 (n_k x)dx = 0,\]
cependant, d’un autre côté on a aussi
\[\int_0^{2\pi}\sin^2 (n_k x)dx=\int_0^{2\pi}\left(1-\cos(2n_k x)\right){dx\over 2}=\pi\]
d’où la contradiction et \(\lim_n b_n=0.\)
Cas général : Supposons maintenant la convergence simple seulement sur un intervalle \([a,b]\). Si par exemple la suite \((a_k)_k\) ne converge pas vers \(0\), on considère comme dans la première partie \(\varepsilon>0\) et une sous-suite \((a_{n_k})_k\) tels que \(\vert a_{n_k}\vert\geq \varepsilon,\ \forall\,k\in\mathbb N\). Alors pour tout \(x\in [a,b]\) : \[\vert f_{n_k}(x)\vert:=\left\vert\dfrac{(a_{n_k}\cos(n_k x)+b_{n_k}\sin(n_k x))^2}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}\right\vert\leq \left\vert\dfrac{(a_{n_k}\cos(n_k x)+b_{n_k}\sin(n_k x))^2}{\varepsilon^2}\right\vert.\] et la suite \((f_{n_k})_k\) est simplement convergente sur \([a,b]\). En outre, vu l’inégalité (Cauchy-Schwarz par exemple) \(ax+by\leq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}\) nous avons aussi la domination : \[\vert f_{n_k}(x)\vert\leq \dfrac{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}=1,\quad\forall\,x\in[a,b],\ k\in\mathbb N.\] Donc, par convergence dominée \[\lim_{k\to\infty}\int_a^b f_{n_k}(x)dx=0{(\bigstar)}.\] Mais par un calcul direct \[\begin{aligned} \int_a^b f_{n_k}(x)dx&=\dfrac{1}{2(a_{n_k}^2+b_{n_k}^2)}\int_a^b \left( a_{n_k}^2(1+\cos(2n_kx))+b_{n_k}^2(1-\cos(2n_k x))+2a_{n_k}b_{n_k}\sin(2n_kx)\right) dx\\ &=\dfrac{b-a}{2}+ \dfrac{a_{n_k}^2-b_{n_k}^2}{2(a_{n_k}^2+b_{n_k}^2)}\int_a^b\cos(2n_kx)dx+ \dfrac{a_{n_k}b_{n_k}}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}\int_a^b\sin(2n_kx)dx\\ &:=\dfrac{b-a}{2}+ \dfrac{a_{n_k}^2-b_{n_k}^2}{2(a_{n_k}^2+b_{n_k}^2)}I_k+ \dfrac{a_{n_k}b_{n_k}}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}J_k \end{aligned}\] mais bien entendu \[\lim_{k\to\infty}I_k =\lim_{k\to\infty}J_k=0\] et \[\left\vert\dfrac{a_{n_k}^2-b_{n_k}^2}{2(a_{n_k}^2+b_{n_k}^2)}\right\vert\leq \dfrac{1}{2}\quad\text{et}\quad \left\vert\dfrac{a_{n_k}b_{n_k}}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}\right\vert\leq\dfrac{1}{2}\] donc \[\lim_{k\to\infty}\left\vert\dfrac{a_{n_k}^2-b_{n_k}^2}{2(a_{n_k}^2+b_{n_k}^2)}I_k\right\vert+ \left\vert\dfrac{a_{n_k}b_{n_k}}{a_{n_k}^2+b_{n_k}^2}J_k\right\vert \leq \dfrac{1}{2}\left( \vert I_k\vert+\vert J_k\vert\right) =0\] soit \[\lim_{k\to\infty}\int_a^b f_{n_k}(x)dx=\dfrac{b-a}{2}>0\] contredisant \((\bigstar)\) : l’affaire est donc entendue (on procède de même si c’est la suite \((b_n)_n\) ne converge pas vers zéro).
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