([rms], 1999/00).

Pour \(f\in L^1(\mathbb R_+),\ \alpha\geq 1,\ n\geq 1\) on pose

\[I_n:=\int_0^\infty n\log\left(1+n^{-\alpha}f^\alpha (t)\right)dt.\]

Après avoir justifié l’existence de \(I_n\), étudier la convergence de la suite \((I_n)_n\).


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[ID: 2807] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Étude de la suite \((\int_0^\infty n\log\left(1+n^{-\alpha}f^\alpha (t)\right)dt)_n\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

Notons \(\varphi_n(t)= n\log\left(1+n^{-\alpha}f^\alpha (t)\right)\), remarquons que pour tout \(\alpha\geq 1\) et \(t\geq 0\) :

\[\ 1+t^\alpha\leq (1+t)^\alpha,\]

ainsi

\[0\leq \varphi_n(t)\leq n\alpha\log\left(1+n^{-1}f(t)\right) \leq \alpha f(t)\in L^1(\mathbb R_+){(\text{\ding{56}})}\]

la dernière inégalité résultant de l’archi-classique \(\log(1+u)\leq u\) sur \(\mathbb R_+\) i.e. pour tout \(n\in\mathbb N^\star, \varphi_n\in L^1(\mathbb R_+)\) et notre suite est bien définie.

Soit \(x\in\mathbb R_+\) fixé, si \(f(x)\ne 0\) alors \(\varphi_n(x)\sim n^{1-\alpha}f^\alpha(t)\rightarrow 0\) pour \(n\to\infty\) si \(\alpha>1\). Ainsi pour \(\alpha>1\) la suite \((\varphi_n)_n\) converge simplement sur \(\mathbb R_+\) vers la fonction nulle. Pour \(\alpha=1\) elle est simplement convergente sur \(\mathbb R_+\) vers \(f\). Ceci et \((\text{\ding{56}})\) nous permet dans les deux cas d’appliquer le théorème de la convergence dominée, soit finallement

\[\lim_{n\to\infty}I_n= \begin{cases} 0&\text{ si }\alpha>1 \\ \int_0^\infty f(t)dt &\text{ si }\alpha = 1.\end{cases}\]


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