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Limite en \(0\), \(\pm\infty\) de \(\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\)
Montrer que si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors
\[\lim_{p\to+\infty}\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p} =\max_{x\in[a,b]}\vert f(x)\vert.\]
si de plus \(f\) est sans zéros dans \([a,b]\) déterminer les limites suivantes
\[\lim_{p\to 0}\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p} \quad\&\quad \lim_{p\to-\infty}\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}.\]
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[ID: 2805] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Limite en \(0\), \(\pm\infty\) de \(\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p
dt\right)^{1/p}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17
Il existe \(c\in[a,b]\) tel que \(M:=\vert f(c)\vert=\max_{x\in[a,b]}\vert f(x)\vert\), on a immédiatement
\[\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\leq \left(\int_a^bM^p dt\right)^{1/p} = M(b-a)^{1/p},{(\bigstar)}\]
De l’autre côté, par continuité de \(f\) et étant donné \(\varepsilon>0\), il existe \([\alpha,\beta]\subset[a,b]\) tel que \(\vert f(x)\vert\geq M-{\varepsilon\over 2}\) sur \([\alpha,\beta]\). Alors
\[\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p} \geq \left(\int_\alpha^\beta\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\geq (M-{\varepsilon\over 2})(\beta-\alpha)^{1/p}\]
Ainsi, vu \((\bigstar)\), on a pour tout \(\varepsilon>0\) :
\[(M-{\varepsilon\over 2})(\beta-\alpha)^{1/p} \leq \left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p} \leq M(b-a)^{1/p}\]
d’où le résultat en faisant tendre \(p\) vers \(+\infty\) (\(\varepsilon>0\) étant arbitraire).
De la première limite on déduit aussitôt (si \(f\) est sans zéros) que
\[\lim_{p\to-\infty}\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p} =\min_{x\in[a,b]}\vert f(x)\vert.\]
Reste la limite en zéro. On peu écrire
\[\log\left( {\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\over b-a}\right) ={1\over p}\log\left({\int_a^b\vert f(t)dt\vert^p\over b-a} \right)={1\over p}\log\left({\int_a^b\,g(t,p)dt\over b-a}\right):={h(p)-h(0)\over p}\]
vu les théorèmes classiques sur la continuité et la dérivabilité des intégrales à paramètres on vérifie sans peine que \(h\) est dérivable à l’origine, on peut dériver sous l’intégrale, si bien que
\[\lim_{p \to 0}\log\left( {\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}dt\over b-a}\right) = h'(0) = \int_a^b\,\log(f(t)) dt.\]
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