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[ID: 2799] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une caractérisation de la fonction Gamma : le théorème de Bohr-Mollerup
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

On suppose ici acquis (classique mais excellent exercice sur les intégrales à paramètres) le fait que \(\Gamma\in\mathscr C^\infty(\mathbb R_+^\star)\) et que l’on peut dériver sous l’intégrale.

Il suffit de faire \(n\) intégrations par parties en faisant tomber le degré de \((1-{t\over n})^n\).

Soit \(f_n(t)=(1-{t\over n})^nt^{x-1}\mathbb I_{[0,n]}(t)\). La suite \((f_n)_n\) est simplement convergente sur \(\mathbb R_+^\star\) vers \(g(t)=t^{x-1}e^{-t}\) et pour \(t>0,\,n\geq 1\ :\ 0\leq f_n(t)\leq g(t)\in L^1(\mathbb R_+)\). Par convergence dominée le résultat suit.

Il suffit de combiner les deux premières questions.

\(\text{log}(\Gamma)''=(\Gamma''\Gamma-{\Gamma'}^2)\Gamma^{-2}\) avec \(\Gamma^{(k)}(x)=\int_0^{+\infty}f_k(x,t)dt\) où \(f_k(t)=\log^k(t)t^{x-1}e^{-t},\ k=0,1,2\). En écrivant \(f_1(x,t)= g(t)h(t)\) avec \(g(t)=\log(t)t^{(x-1)/2}e^{-t/2}\) et \(h(t)=t^{(x-1)/2}e^{-t/2}\) si on remarque que \(g\) et \(h\in L^2(\mathbb R_+)\) espace de Hilbert muni du produit scalaire \(\langle f,g\rangle =\int_{\mathbb R_+}f(t)g(t)dt\), on a par Cauchy-Schwarz :

\[(\Gamma''\Gamma-{\Gamma'}^2)(x)=\Vert g\Vert^2 \Vert h\Vert^2-\langle g,h\rangle\geq 0.\]

\(\log(\Gamma)\) est donc convexe puisque de dérivée seconde positive.

Soient \(0<x<y\) et \(0<t<1\). On a \(f(tx+(1-t)y)\leq f^t(x)f^{1-t}(y)\) et en particulier, si \(u=tx+(1-t)y\) et \(n\in\mathbb N^\star\) la formule \(f(x+1)=xf(x)\) donne \[\begin{aligned} f(u+n+1)= u(u+1) \dots (u+n)f(u)&\leq f(x+n+1)^tf(y+n+1)^{1-t}\\ &\leq \left(x(x+1)\dots (x+n)f(x)\right)^t\left(y(y+1)\dots (y+n)f(y)\right)^{1-t}\end{aligned}\] soit \[{{u(u+1) \dots (u+n)f(u)}\over{n^un!}}\leq \left({{x(x+1)\dots (x+n)f(x)}\over{n^xn!}}\right)^t\left({{y(y+1)\dots (y+n)f(y)}\over{n^yn!}}\right)^{1-t}\]

et, vu

, si \(n\) tend vers l’infini : \[{{f(tx+(1-t)y)}\over{\Gamma(tx+(1-t)y)}}\leq \left({{f(x)}\over{\Gamma(x)}}\right)^t\left({{f(y)}\over{\Gamma(y)}}\right)^ {1-t}\]

La fonction \(f/\Gamma\) est donc log-convexe continue sur \(\mathbb R_+^\star\), mais aussi \(1\)-périodique puique \(f\) est \(\Gamma\) satisfont à la même équation fonctionelle \(g(x+1)=xg(x)\) : la fonction \(\log\left(f/\Gamma\right)\) est donc à la fois convexe et bornée : elle ne peut être que constante (voir l’exercice \(3\)) et le tour est joué vu que \(f(1)=\Gamma(1)=1\).