Convergence et limite de la suite de terme général

\[u_n={n\over2}-\sum_{k=1}^n{n^2\over(n+k)^2}.\]


Barre utilisateur

[ID: 2793] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Étude de la suite \(( u_n={n\over2}-\sum_{k=1}^n{n^2\over(n+k)^2})_n\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

Ecrivons \[u_n=n \left( {1\over2}-{1\over n}\sum_{k=1}^n{1\over\left(1+{k\over n}\right)^2} \right) =n \left( \int_0^1f(t)dt-{1\over n}\sum_{k=1}^nf({k\over n}) \right)\]\(f(t)={{(1+t)^{-2}}}.\) En posant pour \(0<x<1,\ F(x)=\int_0^x f(t)dt\), on peut écrire cette dernière expression sous la forme :

\[\begin{aligned} u_n= n\left(\int_0^1f(t)dt-{1\over n}\sum_{k=1}^nf({k\over n})\right)&=n\left(\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k/n}^{k+1/n}f(t)dt-{1\over n}\sum_{k=1}^{n}F'({k\over n})dt\right)\\ &= f(0)-f(1)+n\left(\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k/n}^{k+1/n}f(t)dt-{1\over n}\sum_{k=0}^{n-1}F'({k\over n})\right)\\ &=f(0)-f(1)+n\left(\sum_{k=0}^{n-1} F({k+1\over n})-F({k\over n})-{1\over n}F'({k\over n})\right)\end{aligned}\]

la formule de Taylor-Lagrange appliquée à \(F\) à l’ordre \(2\) nous assure que

\[F({k+1\over n})-F({k\over n})-{1\over n}F'({k\over n})={1\over 2n^2}F''(\zeta_{n,k}) \quad\text{ où }\quad\zeta_{n,k}\in]{k\over n},{k+1\over n}[\]

et finalement \[\lim_{n\to+\infty}u_n=f(0)-f(1)+{1\over 2}\lim_{n\to+\infty}{1\over n}\sum_{k=0}^{n-1}F''(\zeta_{n,k})=f(0)-f(1)+{1\over 2}\int_0^1F"(t)dt={3\over 8}\] la dernière limite étant justifiée puisque l’on y reconnaît la somme de Riemann de la fonction continue \(F''\) associée à la subdivision \(\{{k\over n}\}_{k=0}^{n}\) en les points \(\left(\zeta_{k,n}\in]{k\over n},{k+1\over n}[\right)_k\).


Documents à télécharger

Étude de la suite \(( u_n={n\over2}-\sum_{k=1}^n{n^2\over(n+k)^2})_n\)
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice