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[ID: 2791] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (5),
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

Soit \(x\in\mathbb R\), on a \[\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\,e^{-x\cos(t)}\cos(x\sin(t))dt &=\text{Re}\left( \int_0^{\pi/2}\,e^{-x\cos(t)}e^{ix\sin(t)}dt\right)\\ &=\text{Re}\left( \int_0^{\pi/2}\,e^{-xe^{-it}}dt\right)\\ &=\text{Re}\left( \int_0^{\pi/2}\,\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-x)^ne^{-int}}{n!}dt\right)\\ &=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-x)^n}{n!} \int_0^{\pi/2}\,\text{Re}\left(e^{-int}\right)dt\\ &=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-x)^n}{n!} \left[ \dfrac{\sin(nt)}{n}\right]_0^{\pi/2}\\ &=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-x)^n}{n!} \dfrac{\sin(n\pi/2)}{n}\\ &=\dfrac{\pi}{2}+\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-x)^{2k+1}}{(2k+1)!} \dfrac{\sin((2k+1)\pi/2)}{2k+1}\\ &=\dfrac{\pi}{2}-\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)(2k+1)!}\\ &=\dfrac{\pi}{2}-\sum_{k=0}^\infty\,\int_0^x\,\dfrac{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!}\dfrac{dt}{t}\\ &=\dfrac{\pi}{2}-\int_0^x\,\sum_{k=0}^\infty\,\dfrac{(-1)^kt^{2k+1}}{(2k+1)!}\dfrac{dt}{t}\\ &=\dfrac{\pi}{2}-\int_0^x\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt. \end{aligned}\] Les deux échanges \(\int\sum=\sum\int\) sont justifiés par la normale convergence des deux séries entières sur le domaine d’intégration (leur rayon de convergence étant infini).

Une convergence dominée élémentaire1 (\(\left\vert e^{-x\cos(t)}\cos(x\sin(t))\right\vert\leq 1\in L^1([0,\pi/2])\)) implique \[\lim_{x\to+\infty} \int_0^{\pi/2}\,e^{-x\cos(t)}\cos(x\sin(t))dt=0,\] soit, vu la formule établie au dessus \[\lim_{x\to+\infty}\left( \dfrac{\pi}{2}-\int_0^x\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt\right)=0\] on retrouve bien la valeur de l’intégrale de Cauchy \(\displaystyle \int_0^\infty\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt= \dfrac{\pi}{2}\).

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1. 1  que l’on peut aussi éviter en coupant l’intégrale en deux...