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[ID: 2789] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\) (5)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

L’intégrale définissant \(F\) est clairement convergente pour tout \(x\in\mathbb R\) : \(F\) est définie sur \(\mathbb R\) et est impaire. Posons \(f(x,t)=\frac{\sin(xt)}{t(t^2+1)}\).

Soit \(a>0\), pour \(x\in [-a,a]\) et \(t\in\mathbb R_+\) on a \[\left\vert f(x,t)\right\vert =\left\vert \dfrac{\sin(xt)}{t}\cdot\dfrac{1}{t^2+1}\right\vert \leq \dfrac{\vert x\vert}{t^2+1}\leq \dfrac{a}{t^2+1}\in L^1(\mathbb R_+),\] vu la régularité de \(f\) le théorème de continuité des intégrales à paramètres assure que \(F\in\mathscr C^0([-a,a])\), et ceci pour tout \(a>0\) : \(F\) est donc continue sur \(\mathbb R\).

\(\partial_x f(x,t)=\dfrac{\cos(xt)}{t^2+1}\), on a donc pour tout \(x\in\mathbb R\) et \(t\in\mathbb R_+\) \[\left\vert \partial_x f(x,t)\right\vert=\left\vert\dfrac{\cos(xt)}{t^2+1}\right\vert\leq \dfrac{1}{t^2+1}\in L^1(\mathbb R),\] par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, \(F\in\mathscr C^1(\mathbb R)\) et \(\displaystyle F'(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{\cos(xt)}{t^2+1}dt.\)

Pour l’existence de la dérivée seconde l’affaire est plus délicate, car \[\left\vert \partial^2_x f(x,t)\right\vert=\left\vert\dfrac{-t\sin(xt)}{t^2+1}\right\vert\underset{t\to\infty}{\sim}\left\vert \dfrac{\sin(xt)}{t}\right\vert,\] et cette dernière n’est (comme \(\left\vert\frac{\sin(t)}{t}\right\vert\)) pas intégrable en \(+\infty\) : toute tentative de domination (même locale) pour appliquer le théorème précédent est donc vaine. L’astuce constiste par une intégration par parties à écrire \(F'\) sous une forme acceptable pour justifier la dérivation sous l’intégrale :soit \(x\in\mathbb R^\star\) : \[\begin{aligned}F'(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{\cos(xt)}{t^2+1}dt &= \left[ \dfrac{\sin(xt)}{x(t^2+1)}\right]_0^\infty+\int_0^\infty\,\dfrac{2t\sin(xt)}{x(t^2+1)^2}dt\\ &=\int_0^\infty\,\dfrac{2t\sin(xt)}{x(t^2+1)^2}dt. \end{aligned}\] Ainsi, pour \(x\not= 0\) on a \[F'(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{\cos(xt)}{t^2+1}dt= \int_0^\infty\,\dfrac{2t\sin(xt)}{x(t^2+1)^2}dt{(\text{\ding{56}})}\] sous cette seconde forme, on va pouvoir appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, en effet soit \(a>0\), pour \(x\geq a\) \[\begin{aligned}\left\vert \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{2t}{x}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{(t^2+1)^2}\right) \right\vert &\leq \left\vert \dfrac{2t}{x^2}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{(t^2+1)^2}\right\vert+\left\vert \dfrac{2t^2\cos(xt)}{x(t^2+1)^2}\right\vert\\ &\leq \dfrac{\vert 2t\vert }{a^2(t^2+1)^2}+\dfrac{2t^2}{a(t^2+1)^2}\in L^1(\mathbb R) \end{aligned}\] on peut donc dériver sous l’intégrale : \(F\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R^\star\) et \[F''(x)=\int_0^\infty\, \left(-\dfrac{2t}{x^2}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{(t^2+1)^2}+ \dfrac{2t^2\cos(xt)}{x(t^2+1)^2}\right)dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R^\star.\] Cette expression est un peu chargée, faisons une intégration par parties : \[\begin{aligned}F''(x)&=\int_0^\infty\, \left(-\dfrac{2t}{(t^2+1)^2}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{x^2}+ \dfrac{2t^2\cos(xt)}{x(t^2+1)^2}\right)dt\\ &=\left[ \dfrac{\sin(xt)}{x^2(t^2+1)}-\dfrac{t\cos(xt)}{x(t^2+1)} \right]_0^\infty -\int_0^\infty\,\left( \dfrac{x\cos(xt)}{x^2(t^2+1)}-\dfrac{\cos(xt)-xt\sin(xt)}{x(t^2+1)} \right)dt\\ &=-\int_0^\infty\,\dfrac{t\sin(xt)}{t^2+1}dt. \end{aligned}\] Il est intéressant à ce stade d’observer que nous retrouvons finalement la formule \[F''(x)=\int_0^\infty\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,t)dt,\quad x\in\mathbb R^\star,\] mais pour justifier une dérivation sous l’intégrale une transformation de \(F'\) (voir ()) à été nécessaire ; remarquez aussi que l’existence de \(F''(0)\) reste ouverte. Nous avons donc : \[\begin{aligned} &F'(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{\cos(xt)}{t^2+1}dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R,\\ &F''(x)=-\int_0^\infty\,\dfrac{t\sin(xt)}{t^2+1}dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R^\star. \end{aligned}\]

Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb R^\star\), \[F(x)-F''(x)= \int_0^\infty\,\dfrac{\sin(xt)}{t(t^2+1)}dt+\int_0^\infty\,\dfrac{t\sin(xt)}{x(t^2+1)}dt=\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(xt)}{t}dt=\begin{cases}C,\quad\forall\,x\in\mathbb R_+^\star,\\ -C,\quad\forall\,x\in\mathbb R_-^\star.\end{cases}\] \(F\) est donc solution de l’équation différentielle \(F-F''=C\) sur \(\mathbb R_+^\star\) et \(F-F''=-C\) sur \(\mathbb R_-^\star\) ce qui nous donne \[F(x)=\begin{cases} ae^x+be^{-x}+C,\quad\forall\,x\in\mathbb R_+^\star,\\ ce^x+de^{-x}-C,\quad\forall\,x\in\mathbb R_-^\star. \end{cases}\] (remarquez que ces équations impliquent \(\lim_{0_+}F''(x)=C=-\lim_{0_-}F''(x)\) qui assurent si \(C\neq 0\) que \(F''\) admet à l’origine des limites à droite et à gauche différentes ce qui (propriété classique de l’application dérivéée, Darboux par exemple) nous permet d’affirmer que \(F''(0)\) n’existe pas mais \(F'\) est tout de même dérivable à droite et à gauche en \(0\) avec \(F''(0_+)=C=-F''(0_-)\)...) \(F\) étant impaire, \(a=-d, b=-c\) soit \[F(x)=\begin{cases} ae^x+be^{-x}+C,\quad\forall\,x\in\mathbb R_+^\star,\\ -be^x-ae^{-x}-C,\quad\forall\,x\in\mathbb R_-^\star \end{cases}\] et \(F\) continue à l’origine avec \(F(0)=0\) implique \[F(0)=0=\lim_{x\to 0_+}F(x)=a+b+C=\lim_{x\to 0_-}F(x)=-a-b-C\] soit \(a+b=-C\) ; de même, \(F'\) continue à l’origine avec \(F'(0)=\pi/2\) donne \(a-b=\pi/2\) i.e. \(2a=\pi/2-C, 2b=-C-\pi/2\) et finalement \[F(x)=\dfrac{\pi}{2}\text{sh}(x)-C\text{ch}(x)+C,\quad\,\forall\,x\in\mathbb R_+^\star.{(\text{\ding{52}})}\]

Il reste à évaluer \(C\). Pour cela, montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=C\). Soit \(x>0\), \[F(x)-C=F''(x)=\int_0^\infty\, \left(-\dfrac{2t}{x^2}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{(t^2+1)^2}+ \dfrac{2t^2\cos(xt)}{x(t^2+1)^2}\right)dt\] (on a encore ici besoin de la première expression de \(F''\) pour conclure facilement) pour \(x\geq a>0\), on a la domination \[\left\vert -\dfrac{2t}{x^2}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{(t^2+1)^2}+ \dfrac{2t^2\cos(xt)}{x(t^2+1)^2}\right\vert\leq \dfrac{2t}{a^2(t^2+1)^2}+\dfrac{2t^2}{a(t^2+1)^2}\in L^1(\mathbb R_+).\] Donc par le théorème de la convergence dominée \[\lim_{x\to+\infty}(F(x)-C)=\int_0^\infty\,\lim_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{2t}{x^2}\cdot \dfrac{\sin(xt)}{(t^2+1)^2}+ \dfrac{2t^2\cos(xt)}{x(t^2+1)^2}\right)dt=0\] soit avec () \[\lim_{x\to+\infty}F(x)=C\quad \text{et}\quad F(x)\underset{+\infty}{\sim}\left( \dfrac{\pi}{2}-C\right) e^x+C\] qui donnent \[C=\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt=\dfrac{\pi}{2}.\] C.Q.F.D.