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[ID: 2785] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Toujours un calcul de l’intégrale de Cauchy\(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\) (3)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

On à immédiatement pour \(a>0\)

\[\lim_{a\to 0_+} {{e^{-at}}\over t^2+1}={1\over t^2+1}=f(t),\quad \forall\,t\in\mathbb R_+,\quad\text{ et }\quad\left\vert{{e^{-at}}\over t^2+1}\right\vert\leq f(t)\in L^1(\mathbb R_+)\]

donc, par convergence dominée

\[\lim_{a\to 0_+} \int_0^\infty{{e^{-at}}\over t^2+1}=\int_0^\infty{1\over t^2+1}={\pi\over 2}.\]

Pour le terme de gauche, une convergence dominée est sans espoir car il est notoire (cf. exercice page [ExoIntegralesImpropresDontSinusTsurT]) que \[t\mapsto{{\sin(t)}\over t}\not\in L^1(\mathbb R_+).\] On peut tout de même justifier l’inversion des deux limites à la main par exemple en remarquant que

\[\left\vert\int_0^\infty{\sin(t)\over t+a}dt-\int_0^\infty{\sin(t)\over t}dt\right\vert\leq \int_0^1{a\vert\sin(t)\vert\over t(t+a)}dt +\int_1^\infty{a\vert\sin(t)\vert\over t(t+a)}dt\]

le premier terme du second membre tend vers zéro avec \(a\) par convergence dominée car l’intégrande converge simplement vers la fonction nulle sur \([0,1]\) avec la domination \[{a\vert\sin(t)\vert\over t(t+a)}\leq {\vert\sin(t)\vert\over t}\in L^1([0,1]).\]

Pour le second terme, l’affaire est encore plus simple puisque \[\int_1^\infty{a\vert\sin(t)\vert\over t(t+a)}dt \leq a\int_0^\infty {dt\over t^2}\rightarrow_{a\to 0} 0.\]

On peut aussi, sans convergence dominée écrire pour tout \(\varepsilon>0\)

\[\begin{aligned}\left\vert\int_0^\infty{\sin(t)\over t+a}dt-\int_0^\infty{\sin(t)\over t}dt\right\vert &\leq \int_0^\varepsilon{a\vert\sin(t)\vert\over t(t+a)}dt +\int_\varepsilon^\infty{a\vert\sin(t)\vert\over t(t+a)}dt\\ &\leq \int_0^\varepsilon{\sin(t)\over t}dt+\int_\varepsilon^\infty{a\over t^2}dt \\ &\leq \varepsilon+{a\over\varepsilon}\quad \quad\forall\ a,\varepsilon>0\\ &\leq 2\sqrt{a}\qquad \quad\forall\ a>0\ (\text{on a fait }\varepsilon=\sqrt{a})\end{aligned}\]

d’où le résultat.

Voir l’exercice suivant pour démontrer :

\[\int_0^\infty {{\sin(t)}\over{t+a}}dt=\int_0^\infty{{e^{-at}}\over t^2+1}dt, \forall\,a\in\mathbb R_+^\star.\]