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[ID: 2783] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Encore un calcul de l’intégrale de Cauchy \(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17

La semi-convergence de cette intégrale est classique. Remarquons que \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\lim_{n\to\infty}\int_0^{n\pi/2}\frac{\sin(t)}{t}dt =\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(nx)}{x}dx.\] Nous allons successivement montrer \[\int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}dx =\dfrac{\pi}{2},\quad\forall\,n\in\mathbb N,{\text{(\ding{52})}}\] puis \[\lim_{n\to\infty}\left( \int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)x)}{x}dx- \int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}dx\right) =0,{\text{(\ding{56})}}\] ce qui fournira la formule désirée.

Pour (), puisque pour tout \(x\in]0,\pi/2[\) \[\dfrac{1}{2}+\cos(x)+\cos(2x)+\dots+\cos(nx)= \dfrac{\sin(2^{-1}(2n+1)x)}{2\sin(x/2)},\] soit \[\dfrac{\sin(2n+1)x}{\sin(x)}=1+2\cos(2x)+2\cos(4x)+\dots+2\cos(2nx),\quad x\in]0,\pi[\] qui donne immédiatement ().

Pour la seconde on peut écrire \[\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\left( \int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)x)}{x}dx- \int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)}dx\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin(x)-x}{x\sin(x)}\sin((2n+1)x)dx\end{aligned}\] et cette dernière limite est nulle par le lemme de Riemann-Lebesgue ([waint], page ???). D’où ().