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Irrationalité de \(e\) (1)
Pour \(n\in\mathbb N\) on pose \(\displaystyle\ I_n=\int_0^\infty\,x^ne^xdx\).
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) il existe \(a_n, b_n\in\mathbb Z\) tels que \(I_n=a_n+eb_n\).
On suppose qu’il existe \(p,q\in\mathbb N^\star\) tels que \(e=p/q\), montrer que \[I_n\geq q^{-1},\ \forall\,n\in\mathbb N.\]
En déduire que \(e\not\in\mathbb Q\).
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[ID: 2777] [Date de publication: 9 novembre 2022 16:17] [Catégorie(s): Intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Irrationalité de \(e\)
(1)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 16:17
On procède par récurrence sur \(n\in\mathbb N\). Si \(n=0\), \(I_0=\int_0^1\,e^{x}dx=e-1\) et l’assertion est donc vraie pour \(n=0\) avec \(a_0=-1=-b_0\). Supposons la propriété vrai au rang \(n\) avec \(I_n=a_n+eb_n\), alors \[\begin{aligned}I_{n+1}&=\int_0^1\,e^xx^{n+1}dx=\left[ e^xx^{n+1}\right]_0^1-\int_0^1\,e^x(n+1)x^ndx\\ &=e-(n+1)I_n=e-(n+1)(a_n+eb_n)=-(n+1)a_n+e(1-(n+1)b_n) \end{aligned}\] soit la propriété au rang \(n+1\), C.Q.F.D.
Supposons que \(e=p/q\) avec \(p,q\in\mathbb N^\star\), alors \[0<I_n=a_n+eb_n=\dfrac{qa_n+pb_n}{q},\] qui implique \[qa_n+pb_n\geq 1\] et par conséquent \[I_n\geq \dfrac{1}{q},\quad\forall\,n\in\mathbb N.{(1)}\] D’un autre coté, on a la majoration immédiate \[0<I_n\leq \int_0^1\,ex^ndx=\dfrac{e}{n+1},\quad\forall\,n\in\mathbb N.{(2)}\] (1) et (2) donnent \[0<\dfrac{1}{q}\leq \dfrac{e}{n+1},\quad\forall\,n\in\mathbb N\] qui est visiblement absurde : \(e\) est donc irrationel.
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