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[ID: 2715] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k+1}C_n^kk^n=(-1)^{n+1}n!\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Nous avons \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n\,(-1)^{k+1}C_n^kk^n&=-\lim_{x\to 0}\dfrac{d^n}{dx^n}\left( \sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k e^{kx}\right) \\ &=-\lim_{x\to 0}\dfrac{d^n}{dx^n}\left( (1-e^x)^n\right) \\ &=-\lim_{x\to 0}\dfrac{d^n}{dx^n}\left( -x-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}-\dots\right)^n \\ &=(-1)^{n+1}\lim_{x\to 0}\dfrac{d^n}{dx^n}\left( x^n+n\dfrac{x^{n+1}}{2}+\dots\right) \\ &=(-1)^{n+1}n! \end{aligned}\]