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[ID: 2713] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Un fameux théorème d’Émile Borel
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Soient \(n\in\mathbb N^\star, k\in\{0,\dots,n-1\}\). Avec la formule de Leibnitz \[f_n^{(n)}(x)=\dfrac{a_n}{n!}\sum_{p=0}^k C_k^pn(n-1)\dots(n-p+1)x^{n-p}\lambda_n^{k-p}\varphi^{(k-p)}(\lambda_n x)\] De plus \(\varphi^{(k-p)}(\lambda_n x)=0\) pour \(\vert x\vert\geq 2/\vert\lambda_n\vert\) d’où \[\begin{aligned} \sup_{x\in\mathbb R}\left\vert f_n^{(k)}(x)\right\vert&\leq \dfrac{\vert a_n\vert}{n!}\sum_{p=0}^k C_k^p \dfrac{n!}{(n-p)!}\vert x\vert^{n-p}\vert\lambda_n\vert^{k-p}\sup_{x\in\mathbb R}\vert\varphi^{(k-p)}(\lambda_n x)\vert\\ &\leq {n!}\sum_{p=0}^k \dfrac{C_k^p}{(n-p)!}\left( \dfrac{2}{\vert\lambda_n\vert}\right) ^{n-p}\vert\lambda_n\vert^{k-p}\sup_{\lambda_n x\in[-2,2] }\vert\varphi^{(k-p)}(\lambda_n x)\vert&\\ &\leq \dfrac{\vert a_n\vert M_n}{\vert\lambda_n\vert^{n-k}}\sum_{p=0}^k \dfrac{C_k^p 2^{n-p}}{(n-p)!}&(\text{\ding{56}}) \end{aligned}\] où \(\displaystyle M_n:=\max_{0\leq k\leq n-1}\left( \sup_{\lambda_n x\in[-2,2] }\vert\varphi^{(k-p)}(\lambda_n x)\vert\right)\). D’autre part, avec les majorations grossières pour \(0\leq p\leq k\leq n-1\) : \[C_k^p\leq k!\leq (n-1)!,\quad \dfrac{2^{n-p}}{(n-p)!}\leq 2^n\] supposons en outre \(\vert\lambda_n\vert\geq 1,\ \forall\,n\in\mathbb N\), alors \(1/\vert\lambda_n\vert^{n-k}\leq 1/\vert\lambda_n\vert\), et finalement () devient \[\sup_{x\in\mathbb R}\left\vert f_n^{(k)}(x)\right\vert\leq \dfrac{\vert a_n\vert M_n}{\vert\lambda_n\vert^{n-k}}\sum_{p=0}^k k!2^n\leq \dfrac{\vert a_n\vert M_n}{\vert\lambda_n\vert}2^nn!.\] de cette dernière inégalité, nous avons \[\vert\lambda_n\vert\geq\max\left( 1,\,M_n\vert a_n\vert 4^n n!\right){(\text{\ding{52}}_n)}\] qui implique \[\sup_{x\in\mathbb R}\left\vert f_n^{(k)}(x)\right\vert\leq 2^{-n},\quad\forall\,0\leq k\leq n-1.{(\text{\ding{54}})}\] En résumé, toute suite \((\lambda_n)_n\) de réels vérifiant (\(_n\)) convient.

Sous ces choix, considèrons l’application \(f:=\sum_{n\geq 0}f_n\). L’inégalité () (avec \(k=0\)) assure la normale convergence sur \(\mathbb R\) de la série de fonctions définissant \(f\) qui est donction définie et continue sur \(\mathbb R\).

Maintenant, pour \(k\geq 1\), en écrivant \[\sum_k f_n^{(k)}=\sum_{n\geq k}f_n^{(k)}+\sum_{n>k}f_n^{(k)}\] l’inégalité \(\sup_\mathbb R\vert f_n^{(k)}\vert<2^{-n}\) pour \(n>k\) implique que la série \(\sum_{n}f_n^{(k)}\) est normalement convergente sur \(\mathbb R\) ; ainsi (c’est le théorème de Weierstrass sur la dérivation des séries de fonctions), \(f\) est indéfiniment dérivable sur \(\mathbb R\) et on peut dériver sous le \(\sum\) : \[\begin{aligned} f^{k}(x)&=\sum_{n=0}^kf_n^{(k)}(x)+\sum_{n>k}f_n^{(k)}(x)\\ &=\left( \sum_{n=0}^k +\sum_{n>k} \right) \left( \sum_{p=0}^k \dfrac{a_n}{n!}C_k^p\left( x^n\right)^{(k)}\left( x^n\varphi(\lambda_n x)\right)^{(n-p)} \right),\quad x\in\mathbb R,\ n\in\mathbb N. \end{aligned}\] Maintenant, comme \(\varphi\) est constante égale à \(1\) sur \([-1,1]\), ses dérivées d’ordre supérieur à \(1\) sont identiquement nulles sur \(]-1,1[\) donc en particulier à l’origine. De même \[\left( x^n \right)^{(k)}\big\vert_{x=0}=\begin{cases} n!\quad&\text{si }\ n=k\\ 0\quad&\text{sinon.}\end{cases}\] De là, pour évaluer \(f^{(k)}(0)\), seul un terme n’est pas nul dans l’expression précédente, il reste précisément : \[f^{(k)}(0)=\dfrac{a_k}{k!} \left( x^n \right)^{(k)}\varphi(\lambda_n x)\big\vert_{x=0}=a_k,\] et \(f\) possède bien les propriétés désirées.