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[ID: 2711] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une série et une fonction
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

On commence par construire une suite \((c_n)_n\subset\mathbb R_+^\star\) vérifiant \[\lim_{n\to\infty}c_n=+\infty\quad\text{et}\quad \sum_{n\geq 1}c_nb_n<\dfrac{1}{2}.\] Posons \(B:=\sum_{n\geq 1}b_n\) et désignons, pour tout \(k\in\mathbb N\), par \(N_k\) le plus petit entier vérifiant \[\sum_{n\geq N_k}b_n\leq \dfrac{B}{4^k}.\] La suite \((N_k)_k\) est bien définie. On pose alors \[c_n=\frac{2^k}{5B}\quad\text{pour tout}\quad N_k\leq n\leq N_{k+1},\] il est clair que \(c_n\to+\infty\) et \[\sum_{n\geq 1}c_nb_n=\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=N_k}^{N_{k+1}-1}c_nb_n\leq \sum_{k=0}^\infty \dfrac{2^k}{5B}\sum_{n\geq N_k}b_n\leq \sum_{k=0}^\infty \dfrac{2^k}{5B}\dfrac{B}{4^k}=\dfrac{2}{5}.\] On considère alors les intervalles \(I_n=]a_n-c_nb_n,a_n+c_nb_n[\), la somme de leur longueurs est \(2\sum_n c_nb_n<1\) : il existe donc un réel \(x_0\in]0,1[\) qui n’est inclu dans aucun des intervalles \(I_n\). Nous allons montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\). \(x_0\in]0,1[\setminus\left( \cup_n I_n\right)\) implique que \(x_0\neq a_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\), par conséquent \(f(x_0)=0\).

Soit \(x\in]0,1[\), s’il existe \(\in\mathbb N\) tel que \(x=a_n\) alors \[\left\vert\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\vert=\dfrac{f(a_n)}{\vert a_n-x_0\vert}\leq \dfrac{b_n}{c_nb_n}=\dfrac{1}{c_n}\] sinon \[\left\vert\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\vert=0.\] Puisque \(c_n\to\infty\) ces deux inégalités assurent que pour tout \(\varepsilon>0\) il n’existe qu’un nombre fini de réels \(x\in]0,1[\setminus\{x_0\}\) tels que \[\left\vert\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\vert\geq \varepsilon.\] \(f\) est donc dérivable en \(x_0\) et \(f'(x_0)=0\).

Comme \(f\) est nulle sauf peut-être sur un ensemble dénombrable, si \(f\) est dérivable en un point \(x_0\) on aura nécessairement \(f(x_0)=f'(x_0)=0\). Si \((b_n)_n\) ne tends pas vers zéro, il n’est pas difficile de construire une autre suite \((\beta_n)_n\) telle que \(0 < \beta_n \leq b_n,\ \lim_n\beta_n=0\) et \(\sum_n\beta_n=\infty\). On construit alors la suite \((a_n)_n\) de telle sorte que les intervalles \(I_n:=]a_n-\beta_n,a_n+\beta_n[\) rencontrent chaque point de \(]0,1[\) une infinité de fois (ceci est possible puisque la somme des longueurs de intervalles est \(\sum_n2\beta_n=\infty\)). Avec ce choix, pour tout \(x_0\in]0,1[\) vérifiant \(f(x_0)=0\) (si \(f(x_0)\neq 0\) nous avons déja remarqué que \(f\) ne peut être dérivable en ce point) et tout \(\varepsilon>0\) il existe \(n\in\mathbb N\) tel que \(\beta_n<\varepsilon\) et \(x_0\in I_n\) qui implique \[\left\vert\dfrac{f(xa_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}\right\vert\geq\dfrac{b_n}{\beta_n}\geq 1.\] \(0\) étant la seule valeur possible pour \(f'(x_0)\), \(f\) n’est pas dérivable en \(x_0\).