Soit \(I\subset\mathbb R\) un intervalle et \(f\ :\ I\to\mathbb R\) une application deux fois dérivable telle que \[M_k:=\sup_{x\in I}\vert f^{(k)}(x)\vert<+\infty,\quad\forall\,k=0,1,2.\]

On suppose que \(I=\mathbb R\). Montrer que \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).

On suppose que \(I=[-c,c],\ c\in\mathbb R_+^\star\). Montrer que \[\vert f'(x)\vert\leq \dfrac{M_0}{c}+(x^2+c^2)\dfrac{M_2}{2c},\quad \forall\,x\in[-c,c].{\text{(\ding{56})}}\] \[M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\quad\text{si}\quad c\geq \sqrt{\dfrac{M_0}{M_2}}.{\text{(\ding{52})}}\]

On suppose que \(I=(c,+\infty),\ c\in\mathbb R\). Montrer que \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).

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[ID: 2709] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Sur l’inégalité de Kolmogorov \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

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Sur l’inégalité de Kolmogorov \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).
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