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[ID: 2707] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Zéros des dérivées d’une fonctions \(\mathscr C^\infty\) à support compact
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Sans perdre de généralité on peut supposer \(a=1\) et \(f\) strictement positive sur \(]-1,1[\) (sinon \(n=0\) marche). Désignons par \(Z(f^{(n)})\) le nombre (peut-être infini) de zéros de \(f^{(n)}\) dans \(]-1,1[\). La régularité de \(f\) assure que \[\forall\,n\in\mathbb N\quad :\quad f^{(n)}(-1)=f^{(n)}(1)=0\] de telle sorte qu’en itérant le théorème de Rolle aux dérivées successives de \(f\) on a \[Z(f^{k+1})\geq Z(f^{(k)})+1\] soit après une recurrence immédiate \[Z(f^{(n+1)})\geq Z(f^{(n)})+1,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Ainsi, \(Z(f^{(n)})\geq n,\forall\,n\in\mathbb N\) et la difficulté est de trouver un zéro supplémentaire.

La clé de cet exercice non trivial est le lemme suivant :

Preuve du lemme : Par une récurrence élémentaire, il est suffisant de prouver que pour tout \(n\in\mathbb N\) et tout \(\alpha\) réel hors de \(]-1,1[\) on a en posant \(g(x)=(x-\alpha)f(x)\) : \[Z(g^{(n+1)})\geq Z(f^{(n)})+1.\] Or \[\begin{aligned} g^{(n+1)}(x)&= (x-\alpha)f^{(n+1)}(x)+(n+1)f^{(n)}(x)\\ &= (x-\alpha)^{-n}\dfrac{d}{dx}\left( (x-\alpha)^{n+1}f^{(n)}(x)\right) \end{aligned}\] qui s’annule au moins une fois de plus sur \(]-1,1[\).\(\square\)

Nous sommes maintenant en mesure de résoudre l’exercice proposé. Soit \(p\) un entier tel que \[\left( \dfrac{3}{4}\right)^p<\rm{min}\left( \dfrac{f(0)}{f(1/2)},\dfrac{f(0)}{f(-1/2)}\right)\] et posons \(g(x)=(1-x^2)^{-p}f(x)\) avec \(g(-1)=g(1)=0\) ; par le lemme de division \(g\) est \(\mathscr C^\infty\) sur \(\mathbb R\) et par construction \[g(-1)<g(-1/2),\quad g(-1/2)>g(0),\quad g(0)<g(1/2)\quad \text{et}\quad g(1/2)>g(1).\] Il en résulte que \(g'\) s’annule au moins trois fois sur \(]-1,1[\) ; le lemme permet alors d’affirmer que \[Z(f^{(n+2p)})\geq Z(g^{(n)})+2p\] ce qui nous donne si \(n=1\) \[Z(f^{(2p+1)})\geq 2p+3.\] Ainsi \(f^{(m)}\) pour \(m\geq 2p+1\) possède au moins \(m+2\) zéros sur \(]-1,1[\).

Remarques : Cette solution nous laisse sur notre fin, en effet on ne comprends pas plus après sa lecture pourquoi ce mystérieux zéro supplémentaire va apparaitre et ne met pas vraiment non plus en évidence le role de la compacité du support de \(f\) qui est essentielle (la fonction \(f(x)=e^{-x^2}\) vérifie pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(\lim_{x\to\pm\infty}f^{(n)}(x)=0\) mais on a \(Z(f^{(n)})=n\) ). Il serait vraiment trés intéressant d’avoir une autre preuve expliquant l’apparition de ce zéro supplémentaire.

En observant un peu plus en détail cette solution, il n’est alors pas difficile de montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) les applications \(f^{(n)}\) admettront au moins \(n+k\) zéros dans \(]-a,a[\).

Le lemme de division est un outil essentiel pour beaucoup d’exercices d’analyse. Il dit en substance que (reprendre l’enoncé du Zuily et pourquoi la solution...........)