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[ID: 2705] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Convexité et Accroisements Finis
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Supposons au contraire que \(f\) ne soit ni strictement convexe, ni strictement concave sur \(]a,b[\). Il existe alors deux réels \(a<x_1<x_2<b\) tels que le segment reliant les points \((x_1,f(x_1))\) et \((x_2,f(x_2))\) rencontre encore le graphe de \(f\) en au moins un point \((x_3,f(x_3))\) avec \(a<x_1<x_3<x_2<b\). Par hypothèse il existe deux uniques réels \(y_1,y_2\in]a,b[\) vérifiant \[\dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}=f'(y_1)\quad\text{et}\quad \dfrac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}=f'(y_2),\] et le théorème des accroissement finis nous assure que \(x_1<y_1<x_3<y_2<x_2\), soit \(y_1\neq y_2\). D’un autre coté la colinéarité de \((x_1,f(x_1))\), \((x_2,f(x_2))\) et \((x_3,f(x_3))\) assure que \[f'(y_1)=\dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}= \dfrac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}=f'(y_2),\] ce qui est contraire à l’hypothèse sur \(f\). D’où le résultat.