On définit \(f\) sur \(\mathbb R\) par

\[f(x)=\begin{cases} \exp(-{1\over x^2})+\cos(x) \quad&\text{ si }x> 0,\\ \cos(x)\quad&\text{ sinon}.\end{cases}\]

Montrer que \(f\) n’est pas paire mais que tous ses développements limités de \(f\) à l’origine sont sans termes de degré impair.


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[ID: 2703] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Parité, dérivabilité et développement limité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Comme dans l’exercice précédent pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[f(x)=\begin{cases} \cos(x)+o(x^n) \quad&\text{ si }x> 0,\\ \cos(x)\quad&\text{ sinon}.\end{cases}\] au voisinage de \(0_+\). Ainsi, \(f\) admet un développement limité à tout ordre à l’origine et c’est celui de la fonction cosinus : il est donc sans termes impairs.

Toufefois \(f\) n’est ni paire ni impaire puisque \[\vert f(x)-f(-x)\vert=\exp(-{1\over x^2})>0,\ \forall\,x\in\mathbb R^\star.\]

  Remarque : \(f\) n’est donc pas développable en série entière à l’origine.


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