Soit \[f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}\quad\text{si } x\in \mathbb R\setminus\mathbb Q,\\ 0\qquad \quad\text{ sinon.}\end{cases}\] Montrer que \(f\) est discontinue en tous points de \(\mathbb R^\star\), qu’elle est continue et dérivable à l’origine et nulle part deux fois dérivable. Toutefois montrer que \(f\) admet à l’origine un développement limité à tout ordre.


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[ID: 2701] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Régularité et existence de développement limité en un point
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Pour la continuité et la dérivabilité c’est classique. En outre pour tout \(n\in\mathbb N\) \(f(x)=o(x^n)\) à l’origine : elle admet donc un développement limité à l’ordre \(n\) en ce point (la partie principale étant le polynôme nul...).

Remarques : Une fonction est continue en un point, si et seulement si elle admet un développement limité à l’ordre zéro en ce point ; elle y est dérivable si et seulement si elle y admet un développement limité à l’ordre \(1\). Si une fonction est \(n\) fois dérivable en un point alors (Taylor-Lagrange ou Young ) elle admet un développement limité d’ordre \(n\) en ce point et l’exemple précédent nous montre que pour \(n\geq 2\) la réciproque est fausse.

On a aussi pour \(n=2\) le contre-exemple canonique : \(\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^3\sin(x^{-1})\quad&\text{ si }x\in\mathbb R^\star,\\ 0\quad&\text{ sinon.}\end{cases}\)


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