Soit \(f\ :\,\mathbb R\to\mathbb R\) deux fois dérivable, convexe et majorée : montrer que \(f\) est constante.


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[ID: 2699] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Toute application convexe et majorée sur \(\mathbb R\) est constante
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Si \(f\) n’est pas constante, on peut trouver \(a\in\mathbb R\) tel que \(f'(a)\ne 0\) et la formule de Taylor-Lagrange nous donne pour \[x\in\mathbb R,\ \exists\,\zeta_x\in(a,x)\quad:\quad f(x+a)=f(a)+xf'(a)+{x^2\over 2}f''(\zeta_x)\geq f(a)+xf'(a)\] la dernière inégalité résultant du fait que \[\left( f\ \text{ deux fois dérivable et convexe} \right) \quad\Longrightarrow\quad\left( f''\geq 0\right) .\] Si par exemple \(f'(a)>0\) on obtient alors une contradiction en faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\) (et vers \(-\infty\) si \(f'(a)<0\)...)

Remarques :  Si la fonction est seulement convexe le résultat bien entendu subsiste, il faut juste être un peu plus délicat : si \(f\) est non constante, soient \(a<b\) vérifiant \(f(a)<f(b)\) ou \(f(a)>f(b)\) et pour tout \(a<b<x\)

\[\begin{aligned} f(b)&=f\left({{x-b}\over{x-a}}a+{{b-a}\over{x-a}}x\right)\\ &\leq {{x-b}\over{x-a}}f(a)+{{b-a}\over{x-a}}f(x), \end{aligned}\]

soit

\[\forall\, x>b>a,\qquad f(x)\geq {{x-a}\over{b-a}}f(b)-{{x-b}\over{b-a}}f(a).\qquad{(\bigstar)}\]

Si \(f(b)>f(a)\) il existe \(\delta>0\) tel que \(f(b)=f(a)+\delta\) et \((\bigstar)\) devient pour tout \(x>b\) :

\[\begin{aligned} f(x)&\geq {{x-a}\over{b-a}}f(b)-\left({{x-a}\over{b-a}}+{{a-b}\over{b-a}}\right)f(a)\\ &={{x-a}\over{b-a}}\left(f(b)-f(a)\right)+f(a)\\ &\geq {{x-a}\over{b-a}}\delta+f(a):=h(x) \end{aligned}\]

la fonction \(h\) est non majorée sur \(]b,+\infty[\), il en est donc de même pour \(f\) d’où la contradiction. On procède de manière analogue si \(f(b)<f(a)\) en établissant pour \(x<a<b\) avec \(\delta:=f(a)-f(b)\)

\[f(x)\geq {{b-x}\over{b-a}}\delta+f(b)\]

Ce résultat ne subsiste plus si on remplace \(\mathbb R\) par un intervalle de la forme \((a,+\infty[\) (resp. \(]-\infty,a)\)), il suffit par exemple de considérer \(f(x) =e^{-x}\) (resp. \(f(x)=e^x\)).


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