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Dérivabilité et accroissements finis
Soit \(f\in\mathscr C^0([a,b],\mathbb R)\) une application dérivable sur \(]a,b[\) sauf peut être en un point \(c\in]a,b[\). Si \(f'(x)\) admet une limite \(l\) lorsque \(x\) tend vers \(c\), montrer que \(f\) est dérivable en \(c\) et \(f'(c)=l\).
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[ID: 2697] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:19] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Dérivabilité et accroissements finis
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19
Soit \(a<x<c\), appliquons le théorème des accroissements finis à \(f\) sur \([x,c]\) : il existe \(x<\eta_x<c\) tel que \[\quad {{f(x)-f(c)}\over{x- c}}=f'(\eta_x).\] Mais \[(x<\eta_x<c)\quad\Longrightarrow\quad \left( \lim_{x\to c_-}\eta_x=c\right)\] donc, vu les hypothèses sur \(f\) :
\[\lim_{x\to c_-} {{f(x)-f(c)}\over{x-c}} =\lim_{x\to c_-}f'(\eta_x)=\lim_{x\to c_-}f(x)=l.\]
\(f\) est donc dérivable à gauche au point \(c\) avec \(f_g'(c)=l\), on fait de même à droite.
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