Barre utilisateur

[ID: 2695] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Dérivabilité et accroissements finis
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:19

Il faut donc montrer que \(\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,\eta>0\,:\ \exists \zeta\in]a,a+\eta[\text{ tel que }\vert f'(a)-f'(\zeta)\vert\leq \varepsilon\). \(f\) étant dérivable (à droite)

\[\qquad\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,\eta>0\,:\ \forall\,x\in ]a,a+\eta[\ :\ \left\vert {{f(x)-f(a)}\over{x-a}}-f'(a)\right\vert\leq\varepsilon, {(\text{\ding{56}})}\]

mais pour un tel \(x\) le théorème des accroissements finis assure de l’existence d’un \(\zeta\in]a,x[\) tel que \(f(x)-f(a)=(x-a)f'(\zeta)\). Il ne reste plus qu’à reporter dans () pour conclure.

Remarques : les discontinuités de l’application dérivée \(f'\) ne sont donc pas arbitraires, par exemple une discontinuité de première espèce (un saut) est proscrite pour une dérivée. Il faut d’ailleurs se souvenir du théorème de qui dit que \(f'\) possède la propriété des valeurs intermédiaires (on peut aussi traiter cet exercice avec Darboux).

Tant que nous y sommes, il est essentiel pour la leçon sur la dérivabilité d’avoir un exemple d’une fonction dérivable en un point à dérivée non continue, l’exemple canonique étant

\[f(x)= \begin{cases} x^2\sin(x^{-1}) \quad \ \,\text{ si }x\ne 0,\\ 0\qquad\qquad\qquad\text{ si } x=0.\end{cases}\]