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[ID: 2691] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur le point d’inflexion
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18

On montre facilement que \(f\) est deux fois dérivable en \(x=0\) avec \(f'(0)=f''(0)=0\). En outre \(x=0\) est bien point d’inflexion de \(f\) car \(f\) est \(>0\) sur \(\mathbb R_+^\star\) et \(<0\) sur \(\mathbb R_-^\star\) alors que la tangente à l’origine au graphe de \(f\) est l’axe des abcisses. Toutefois, après un petit calcul on a au voisinage de l’origine \(f''(x)=-x\sin(x^{-1})+o(x)\) qui n’est bien sûr pas de signe constant sur aucun voisinage à droite (et à gauche) de zéro.

Remarque : si \(f\) est deux fois dérivable au voisinage d’un point \(a\) et si sa dérivée seconde s’y annule en changeant de signe alors \(f\) admet un point d’inflexion en \(a\). La réciproque est donc fausse.