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[ID: 2689] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Trois preuves du théorème de Darboux
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18

Soient \(x<y\) dans \(I\), et les applications \(\varphi,\psi\,:\,[x,y]\to\mathbb R\) définies par

\[\varphi(t)=\begin{cases}{{f(x)-f(t)}\over {x-t}}&\text{ si }t\in]x,y]\\ f'(x)&\text{ si } t=x,\\ \end{cases} \quad \psi(t)=\begin{cases}{{f(y)-f(t)}\over {y-t}}&\text{ si }t\in[x,y[\\ f'(y)&\text{ si } t=y,\\ \end{cases}\]

vu les hypothèses sur \(f\), \(\varphi\) et \(\psi\) sont continues sur \([x,y]\) et donc \(I_\varphi:=\varphi([x,y])\) et \(I_\psi:=\psi([x,y])\) sont deux intervalles de \(\mathbb R\). Ils sont d’intersection non vide puisque \(\varphi(y)=\psi(x)\), par conséquent \(I_\varphi\cup I_\psi\) est un intervalle non vide de \(\mathbb R\) (la réunion de deux connexes non disjoints est toujours connexe). Ainsi, pour tout réel \(\lambda\in\left(f'(x),f'(y)\right)\) il existe \(t\in]x,y[\) tel que \(\varphi(t)=\lambda\) ou \(\psi(t)=\lambda\), si par exemple \(\varphi(t)=\lambda\) (idem avec \(\psi\)) le théorème des accroissements finis nous assure qu’il existe \(\zeta_t\in]x,y[\) tel que

\[\lambda=\varphi(t)={{f(x)-f(t)}\over{x-t}}=f'(\zeta_t) .\]

finalement

\[\forall\,x,y \in I, \ \forall\, \lambda\in\left(f'(x),f'(y)\right)\quad\exists\,\zeta\in]x,y[\ :\ f'(\zeta)=\lambda\]

et \(f'\) possède bien la propriété des valeurs intermédiaires. CQFD

Supposons \(I\) sans borne supérieure (i.e. \(I=[a,b[\) ou \(]a,b[\)). Considérons la partie connexe \(\mathscr C=\{(x,y)\in I\times I\ :\ x\ne y\}\) l’application

\[\varphi\,:\ (x,y)\in\mathscr C\mapsto \varphi(x,y)={{f(x)-f(y)}\over{x-y}},\]

est visiblement continue, \(\varphi(\mathscr C)\) est donc connexe dans \(\mathbb R\) : c’est un intervalle, et par le théorème des accroissements finis \(\varphi(\mathscr C)\subset f'(I)\). Inversement, vu la forme de \(I\) on a, pour tout \(x\in I\)

\[f'(x)=\lim_{y\to x,\,y>x}\varphi(x,y)\ \in\ \overline{\varphi(\mathscr C)}\]

en resumé \(\varphi(\mathscr C)\) est connexe et

\[\varphi(\mathscr C)\subset f'(I)\subset \overline{\varphi(\mathscr C)}\]

qui implique (cours sur les connexes) la connexité de \(f'(I)\) qui assure notre résultat.

On procéde de même si \(I=]a,b]\) et si \(I=[a,b]\) on écrit \([a,b]=]a,b]\cup[a,b[\).

soient

\[a,b\in I,\ \lambda\in\mathbb R\quad\text{ tels que } \quad f'(a)<\lambda<f'(b)\]

et

\[\varphi\,:\,x\in I\mapsto \varphi(x)=f(x)-\lambda x\in\mathbb R.\]

\(\varphi\) est dérivable sur \(I\) et il existe \(\alpha,\beta\in]a,b[\) tels que \(\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)\) (sinon \(\varphi\) est injective continue sur \(]a,b[\) est strictement monotone, \(\varphi\) est dérivable : \(\varphi'\) est de signe constant ce qui est absurde puisque \(\varphi'(a)=f'(a)-\lambda<0\) et \(\varphi'(b)=f'(b)-\lambda>0\)...) on conclut alors avec le théorème de Rolle.